Самая свежая информация об образовании и студенческой жизни.

Лекции по математическому анализу

Предисловие..................................................................................... 6

Глава 1. Вещественные числа...................................................        7

§ 1. Рациональные числа........................................................... 7

§2. Иррациональные числа........................................................ 8

§3. Сравнение вещественных чисел............................................ 9

§4. Точные грани ограниченного числового множества.............. 10

§5. Арифметические операции над вещественными числами ... 14

§6. Некоторые числовые неравенства........................................ 16

§7. Геометрическое изображение вещественных чисел............... 16

§8. Некоторые числовые множества.......................................... 17

Глава 2. Предел функции.........................................................        18

§1. Понятие функции................................................................ 18

§2. Определение предела функции............................................. 19

§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции............... 25

§4. Свойства пределов функций................................................ 31

§5. Теорема о пределе монотонной функции.............................. 34

Глава 3. Непрерывность функции.............................................        37

§1. Определение непрерывности. Точки разрыва функции.......... 37

§2. Свойства непрерывных функций.......................................... 41

§3. Теорема о существовании и непрерывности обратной функ­ции                   43

§4. Непрерывность элементарных функций................................ 44

§5. Замечательные пределы....................................................... 48



Глава 4. Производные и дифференциалы..........................        53

§1. Определение производной. Производные некоторых основ­ных элементарных функций                53

§2. Физический и геометрический смысл производной............... 56

§3. Дифференцируемость и дифференциал функции................... 59

§4. Правила дифференцирования............................................... 63

§5. Производная обратной функции........................................... 64

§6. Производная сложной функции............................................ 66

§7. Инвариантность формы первого дифференциала.................. 69

§8. Производные высших порядков........................................... 71

§9. Дифференциалы высших порядков....................................... 73

§ 10. Производные вектор-функции............................................       75

Глава 5. Интегралы...............................................................        81

§1. Первообразная и неопределенный интеграл......................... 81

§2. Основные свойства неопределенных интегралов................... 84

§3. Два метода интегрирования................................................. 85

§4. Интегрирование рациональных функций............................... 88

§5. Понятие определенного интеграла........................................ 94

§6. Суммы Дарбу...................................................................... 97

§7. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функ­ции                101

§8. Классы интегрируемых функций.......................................... 103

§9. Свойства определенного интеграла...................................... 107

§10. Формулы среднего значения................................................       111

§11. Формула Ньютона-Лейбница.............................................       112

§12. Замена переменной и интегрирование по частям в опреде­ленном интеграле                     115

§13. Геометрические приложения определенного интеграла..........       118

§14. Физические приложения определенного интеграла................       122

§15. Методы приближенного вычисления определенных интегра­лов                124

Глава 6. Числовые последовательности............................        134

§ 1. Теорема о стягивающейся системе сегментов...................... 134

§2. Предельные точки последовательности................................ 135

§3. Критерий Коши сходимости последовательности.................. 140

§4. Второе определение предела функции.................................. 142

§5. Критерий Коши существования предела функции.................. 145

Глава 7. Основные теоремы о непрерывных и дифференци­руемых функциях                       148

§1. Теоремы об ограниченности непрерывных функций............. 148

§2. Равномерная непрерывность функции ................................. 151

§3. Возрастание и убывание функции в точке. Локальный экс­тремум              152

§4. Теоремы Ролля и Лагранжа.................................................. 153

§5. Формула Коши. Правило Лопиталя...................................... 158

§6. Формула Тейлора................................................................ 163

§7. Формула Маклорена и ее применения.................................. 167

Глава 8. Исследование поведения функций и построение графиков                                                                               177

§ 1. Точки локального экстремума и промежутки монотонности

функции                                                                                177

§2. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции 180

§3. Асимптоты графика функции............................................... 184

§4. Построение графиков функций............................................ 187

§5. Приближенное вычисление корней уравнений....................... 189

Список литературы                                                                198
Вернуться к списку