Готовый реферат

При введении понятия определенного интеграла вида предполагалось, что выполняются следующие условия:

1. пределы интегрирования и являются конечными;

2. подынтегральная функция ограничена на отрезке .

В данном случае определенный интеграл называется собственным.

Другими словами, определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций.

Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.

Если хотя бы одно из условий 1.- 2. не выполняется, то интеграл называется несобственным.

В данной работе рассмотрим несобственные интегралы по неограниченному промежутку и от неограниченной функции и методы исследования их на сходимость.

Найдем условия сходимости и расходимости несобственного интеграла



Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при .



Таким образом:

a) если , то

b) если то .

Если , то .

Вывод: данный интеграл сходится при и расходится при .

Пример 2.

Исследовать при каких значениях сходится несобственный интеграл

.

Если , то



Следовательно, если , то несобственный интеграл расходится.

Если то



Этот предел будет бесконечным при или ; он будет равен постоянной при или . Итак данный интеграл сходится при

Пример 3.

Исследовать при каких значениях сходится несобственный интеграл

.

Находим .

Данный предел будет бесконечным при или ; он будет равен при или .

Если , то , следовательно, при интеграл расходится.

При введении понятия определенного интеграла вида предполагалось, что выполняются следующие условия:

1. пределы интегрирования и являются конечными;

2. подынтегральная функция ограничена на отрезке .

В данном случае определенный интеграл называется собственным.

Другими словами, определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций.

Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.

Если хотя бы одно из условий 1.- 2. не выполняется, то интеграл называется несобственным.

В данной работе рассмотрим несобственные интегралы по неограниченному промежутку и от неограниченной функции и методы исследования их на сходимость.

Найдем условия сходимости и расходимости несобственного интеграла



Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при .



Таким образом:

a) если , то

b) если то .

Если , то .

Вывод: данный интеграл сходится при и расходится при .

Пример 2.

Исследовать при каких значениях сходится несобственный интеграл

.

Если , то



Следовательно, если , то несобственный интеграл расходится.

Если то



Этот предел будет бесконечным при или ; он будет равен постоянной при или . Итак данный интеграл сходится при

Пример 3.

Исследовать при каких значениях сходится несобственный интеграл

.

Находим .

Данный предел будет бесконечным при или ; он будет равен при или .

Если , то , следовательно, при интеграл расходится.

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ч.1. –М., Наука, 1980.

2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. –М., Наука, 1989.

3. Зорич В.А. Математический анализ.Ч.1.- М., Наука, 1984.

4. Гусак А.А., Гусак Г.М., Ьричикова Е.А. Справочник по высшей математике.- Мн., ТетраСистемс, 2004.