Готовая курсовая работа

4. Метод итераций

Функция находит корень уравнения x = F(x) методом простой итерации с относительной погрешностью e. По i-му приближению корня xi находится следующие приближение по формуле xi+1 = F(xi ), i = 0, 1, 2, ... . Процесс продолжается до тех пор, пока относительная точность для двух последовательных приближений не станет меньше e: |(xi+1 -xi )/xi | < e. Процесс итерации сходится на [a, b], если |F'(x)| < 1 при всех x на (a,b).







Рисунок 4. Алгоритм метода итераций



Описание алгоритма метода итераций



Шаг 1. Ввод a,b,ε. x1=a, x2=b.

Шаг 2. x:=f(x)

Шаг 3. Выполнять шаг 2, пока abs(f(x)-x)>eps

Шаг 4. Вывод результата – x, числа итераций - i.



5. Метод Ньютона

Действительный корень x' уравнения F(x) = 0 вычисляется методом Ньютона по итерационному уравнению:

xk+1 = xk -F(xk )/F'(xk )

Процесс сходится к точному значению корня, если начальное приближение x1 выбрано так, что

|F(x1 )F''(x1 )| < |F'(x1 )| 2

Оценка погрешности k-го приближения производится по приближенной формуле

|F(xk )F'(xk )| < e



Рисунок 5. Алгоритм метода Ньютона



Описание алгоритма метода Ньютона



Шаг 1. Ввод a,b,ε.

Шаг 2. x=a; f:=f(x)/df(x)

Шаг 3. Если abs(f)>e, то х=x-f; f=f(x)/df(x) преход к шагу 3

Шаг 4. Вывод результата – x.





6. Комбинированный метод

Если вычисление производной в методе Ньютона затруднено, можно заменить ее вычисление оценкой: F'(x)= (F(x+h)-F(x))/h.





Рисунок 6. Алгоритм комбинированного метода



Описание алгоритма комбинированного метода



Шаг 1. Ввод a,b,ε,h.

Шаг 2. x=a; y:=f(x)*h/f(x+h)

Шаг 3. Если abs(y)>e, то х=x-y; f=f(x)*h/(f(x+h)-y) преход к шагу 3

Шаг 4. Вывод результата – x.

1. Написать программу отделения корней.

2. Написать программу поиска корней 5 методами

3. Исходные данные:

.



Краткая теория

1. Отделение корней

Для нахождения приближённого значения корней с использованием ЭВМ поступают следующим образом. Задают сетку {xi}: a=x1

Рисунок 3. Алгоритм метода хорд

Описание алгоритма метода хорд



Шаг 1. Ввод a,b,ε. x1=a, x2=b.

Шаг 2. x3:=x2-f(x2)(x2-x1)/(f(x2)-f(x1)); x1=x2; x2=x3;

Шаг 3. Выполнять шаг 2, пока abs(x1-x2)>eps

Шаг 4. x=x2

Шаг 5. Вывод результата – x.