Готовая контрольная работа

Контрольная работа №1

1. Метод хорд. Дайте геометрическую интерпретацию метода хорд.

Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения , изолированный на отрезке . Рассмотрим график функции . Пусть и . Точки графика и соединим хордой. За приближенное значение искомого корня примем абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью Ох.



2. Связь абсолютной и относительной погрешности числа с количеством верных цифр этого числа.

Погрешности округления возникают из-за того, что все вычисления выполняются с ограниченным числом цифр, т.е. производится округление чисел. Погрешности округления могут накапливаться и при плохой обусловленности задачи могут привести к очень большим погрешностям.



3. Метод итераций для решения уравнений с одним неизвестным. Достаточные условия сходимости итерационного процесса.



Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единственный вещественный корень . Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду

(*)



4. Комбинированный метод. Дайте геометрическую интерпретацию комбинированного метода.



Пусть требуется найти действительный корень уравнения , изолированный на отрезке . Предполагается, что и имеют разные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке такую точку , что и имеют одинаковые знаки.



5. Произвести действие над приближенными числами, в которых все знаки верные в узком смысле:



6. Вычислить два числа и при . Какой из результатов будет точнее и во сколько раз?



7. Оцените относительную погрешность разности двух приближенных чисел и , если абсолютные погрешности этих чисел равны . Объясните результат.

Найдем относительные погрешности данных чисел:



8. Представить алгоритм метода дихотомии в форме блок-схемы или в форме последовательного выполнения шагов итерационного процесса.

Метод дихотомии - деление отрезка пополам



9. Требуется измерить с точностью в 1% площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы основания которого приблизительно равны 2 и 1 метр и образующая приблизительно 5 м. С какой АП погрешностью нужно для этого измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками нужно взять число ?



Контрольная работа №2



1. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простой итерации. Достаточные условия сходимости.



Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида



2. Метод декомпозиции вычисления определителя.



Пусть - данная матрица, а и соответственно нижняя (левая) и верхняя (правая) треугольные матрицы.

Справедлива теорема:

Если все главные миноры квадратной матрицы А отличны от нуля, то существуют такие нижняя L и верхняя U треугольные матрицы, что А=LU. Если элементы диагонали одной из матриц L или U фиксированные (ненулевые), то такое разложение единственно.

Пусть диагонали нижней треугольной матрицы L фиксированы, тогда



3. Собственные числа и собственные векторы матрицы.



По определению, собственными значениями квадратной матрицы А называют числа , удовлетворяющие соотношению Ax=. x, (1), где х - собственный вектор.

Перепишем (1) в виде (A- Е)х=0. (2)



4. Методы спуска. Метод покоординатного спуска.



Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Ах=b (*)

с симметричной положительно определенной матрицей , n×n; b -n-мерный вектор.



5. Решить системы нелинейных уравнений методом скорейшего спуска



6. Найти собственные числа и собственные вектора матрицы и произвести проверку



Контрольная работа №3



1. Интегральное квадратичное аппроксимирование функций на отрезке.



На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа



широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами.



2. Ортогональные системы функций. Примеры ортогональных функций.

Две вещественные функции и на интервале [a,b] называются ортогональными, если .



3. Основная идея построения формул численного дифференцирования.



Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.

Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.



4. Материальная точка движется прямолинейно. Закон движения представлен в виде таблицы:



Найти скорость и ускорение т. М в момент сек.







5. Составить алгоритм численного дифференцирования табличной функции с помощью полинома Лагранжа.



Интерполяционный полином Лагранжа для функции на произвольной неравномерной сетке имеет вид:



6. Построить интерполяционные полиномы Ньютона 1-го и 2-го порядка для функции , заданной таблично на равномерной сетке



Вычислить значения полинома и погрешности в точках:

а)

б)



Контрольная работа №4



1. Квадратурная формула Гаусса. Остаточный член. Формула Гаусса для произвольного интервала .



Полиномы вида , n=0,1,2,… называются полиномами Лежандра.

Свойства полиномов Лежандра:



2. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.



Интегральные уравнения, уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Вообще, линейным интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида



3. Схема Рунге-Кутта четвертого порядка.



Пусть функция определяется дифференциальным уравнением при начальном условии . При численном интегрировании такого уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка определяют четыре числа:



4. Решить методом Рунге-Кутта 2-го порядка уравнение:

.



Для решения задачи будем использовать следующую схему одного этапа перехода от к :



5. Найти приближенное решение методом последовательных приближений уравнения . Оценить погрешность и найти значения , при которых решение сходится.





Данное уравнение



есть уравнение Фредгольма 2-го рода.

Положим



6. Решить методом Рунге-Кутта 2-го порядка уравнение:

.



Для решения будем использовать ту же схему что и в задаче 4. Заполним расчетную таблицу:

Четыре контрольных работы, содержащие как теоритические вопросы, так и решение задач.

нет