Готовая лекция

13. Передача с помощью цифровой бинарной модуляции.
13.1. Общие положения. Типы модуляции, применяемые в передаче данных.
В случаях, когда тип среды передачи – это полосовой канал, требуется перенос частотного спектра сигналов данных из основной полосы, начинающейся с частоты f=0, в полосу частот, выделенную этому каналу для этой среды. Перенос спектра осуществляется посредством модуляции синусоидального носителя.
Выбор типа модуляции зависит от характеристик среды передачи (в первую очередь, от ширины пригодной полосы частот), скорости передачи, противошумовой защиты, эффективности использования полосы частот, сложности необходимого оборудования и т.д. Применяются все классические методы: амплитудная модуляция АМ, частотная модуляция ЧМ, фазовая модуляция ФМ, смешанная модуляция в различных вариациях.
Модулирующий нефильтрованный сигнал в основной полосе имеет широкий спектр (теоретически бесконечный). Для ограничения спектра модулирующего сигнала может быть использован фильтр нижних частей (ФНЧ) перед модуляцией (Рис.13.1a) или полосно-пропускающего фильтра (ППФ) после модуляции (Рис.13.1б).










С точки зрения эффективного использования полосы частот, измеряемой в бит/с/Гц, иерархией типов модуляции, в порядке возрастания эффективности, является: частотная модуляция (ЧМ), фазовая модуляция (ФМ) и амплитудная модуляция с двумя боковыми полосами (АМ-ДБП), амплитудная модуляция с боковой остаточной полосой (АМ-БОП), амплитудная модуляция с одной боковой полосой (АМ-ОБП), квадратурная амплитудная модуляция (КАМ).
Сложность оборудования возрастает в том же порядке, таким образом, что, учитывая факт того, что ширина необходимой полосы частот прямо пропорциональна скорости передачи данных, для данного канала выбирается тип модуляции, требующий самого простого для данной скорости оборудования, и не требует большей частотной полосы, чем полоса канала.
Например, в речевом телефонном канале, в котором пригодная частотная полоса - 300-3400Гц, рекомендуются следующие типы модуляции, в зависимости от бинарной пропускной способности. Для скорости передачи битов до 1200 бит/с рекомендуется ЧМ, требующая самого простого оборудования. Для скоростей между 1200 бит/с и 4800 бит/с рекомендуется ФМ, поскольку ЧМ требует полосу шире, чем полоса телефонного канала, а оборудование для модемов ФМ дешевле, чем для модемов АМ. Амплитудная модуляция является самой эффективной с точки зрения использования полосы частот канала, и поэтому используется в варианте квадратурной амплитудной модуляции для самых высоких скоростей речевого телефонного канала (до 56 кбит/с).
Для передачи данных по каналам широкой полосы (соединение в первичной группе, полоса 60÷108кГц) рекомендуется АМ-ОБП для скоростей от 48кб/с до 168 кб/с.
В передаче данных по радиорелейным линиям (наземных и спутниковым), допускающим очень большую скорость передачи (Гбит/с), используется, обычно, ФМ и КАМ.
Помимо классификации методов модуляции, основанной на типе модулированного параметра (амплитуды, частоты или фазы), различают категории модуляции, исходя из количества состояний M модулированного параметра: двоичная бинарная модуляция (M=2) и многоуровневая модуляция (M>2) или M-ная.
Среди методов демодуляции различают когерентные и некогерентные методы.
Модуляторы (и когерентные демодуляторы) могут быть снабжены устройствами умножения (балансные модуляторы), применяемыми для перемножения синусоидального носителя с цифровым сигналом в основной полосе (модулирующий сигнал) (Рис.13.2)







Формы сигналов с двоичной модуляцией АМ-2, ФМ-2, ЧМ-2 для модулированного сигнала b(t) представлены на Рис.13.3.





























13.2. Методы формирования сигналов двоичной модуляции.
На Рис.13.3 были представлены типичные формы сигналов двоичной модуляции АМ-2, ФМ-2, ЧМ-2. Функциональные схемы модуляторов, осуществляющих формирование этих сигналов, могут быть получены как частные случаи общей схемы формирования сигналов, рассмотренной в главе 12. При двоичной модуляции (M=2) образуются два сигнала: S1(t) и S2(t). Сигнал S1(t) генерируется при передаче двоичного символа 1”, а сигнал S2(t)- при передаче символа 0”.
При двоичной амплитудной модуляции АМ-2 (английское название -binary amplitude shift кeying (ASК), или on-off”- кeying (OOК) сформированные сигналы имеют форму:
1”  S1(t)=Acos ωct,
0”  S2(t)=0,
где A - амплитуда синусоидального сигнала S1(t); ωc  несущая частота. Двоичному символу 0” соответствует пауза длительностью T двоичного символа, то есть отсутствие генерированного сигнала.
Средняя мощность сигнала S1(t) равняется A2/2 (здесь и в дальнейшем предполагается, что S(t) является напряжением на нормированном сопротивлении в 1Ω). Энергия сигнала S1(t) для одного бита: Eб1=A2T/2. Учитывая, что при передаче символа 0” сигнал не генерируется, и, предположив, что символы 1 и 0 равновероятны, следует, что средняя энергия сигнала на один бит Eбm=Eб1/2=A2T/4.
Для векторного представления образованные сигналы могут быть выражены в виде


откуда следует векторная форма, данная на Рис.13.4


















На Рис.13.5a дана функциональная схема формирования сигналов АМ-2 как частный случай общей схемы синтеза сигналов на основе базовых функций, а на Рис.13.8 б – другой вариант для той же схемы, с амплитудой несущей, нормированной к 1.
Альтернативным вариантом для формирования колебания АМ-2 является использование коммутатора (электронного ключа), управляемого двоичным модулирующим сигналом (Рис.13.6). Полосовой фильтр (ПФ) на выходе модулятора ограничивает ширину модулированного спектра для минимизации частотной полосы, занимаемой генерированным сигналом АМ-2.























Такое же ограничение спектра посредством ПФ может быть осуществлено в схеме с модулятором АМ-2, данной на Рис.13.5. В некоторых случаях, когда относительная полоса фильтра B/ƒc очень мала и сложно практически реализовать ПФ, рекомендуется ограничение спектра сигнала АМ-2 посредством ограничения спектра модулирующего сигнала фильтром нижних частот (ФНЧ) (Рис.13.7).
Нефильтрованный спектр сигнала АМ-2 описывается выражением (13.1), графически представленном на Рис.13.8.
(13.1)










Частотная полоса, занимаемая нефильтрованным сигналом АМ-2, может быть приблизительно рассчитана как полоса между первыми двумя нолями
BАМ-2=2/T, (13.2)
где T – длительность двоичного символа. Если используется фильтрация сигнала с характеристикой типа приподнятого косинуса, тогда занимаемая полоса может быть рассчитана по выражению
BАМ-2=(1+α)/T , (13.3)
где .
Вид упомянутой выше модуляции называется амплитудной модуляцией с двойной боковой полосой (АМ-ДБП), поскольку спектр содержит две боковые полосы, несущие ту же информацию. Поэтому одна из боковых полос может быть подавлена, формируя вариант модуляции АМ с единственной боковой полосой (АМ–ОБП), требующей в два раза меньшую полосу канала.
При двоичной фазовой модуляции ФМ–2 (binary PSК– phase shift кeying) переданная информация содержится в мгновенных значениях фазы модулированной несущей согласно правилу:
1”Acosct=S1(t), 0  t  T
0”Acos(ct+)= –Acosct=S2(t), 0  t  T
Энергия сигнала в битовом интервале: .
Для векторного представления сигналы S1(t) и S2(t) могут быть переписаны в виде

или S1(t)=S11(t); S2(t)=S21(t),
где
Графическое представление дано на Рис.13.9






На Рис.13.10 дана функциональная схема формирования сигнала ФМ–2 . Схема модулятора, основанного на этом принципе с предварительной фильтрацией в ФНЧ, показана на Рис.13.11. Схема идентична схеме для модулятора АМ–2 (Рис.13.7) с тем отличием, что при модуляции ФМ–2 модулирующий сигнал b(t) является полярным (A).














Ограничение спектра по этой схеме может быть осуществлено и с помощью ППФ на выходе модулятора.
На Рис.13.12 показана другая возможная схема модулятора, основанная на использовании коммутатора, управляемого модулирующим сигналом b(t), и постфильтрации в ППФ.
Спектр сигнала ФМ–2 имеет ту же форму, что и для сигнала АМ–2 (Рис.13.8), а занимаемая частотная полоса может быть рассчитана по выражениям, идентичным (13.1) и (13.3).
При двоичной частотной модуляции ЧМ–2 (binary FSК– frequency shift кeying) переданная информация содержится в частоте генерированного колебания согласно правилу:
1”S1(t)=Acos1t
0”S2(t)=Acos2t
Сигналы S1(t) и S2(t) могут быть приняты ортогональными, если частоты 1 и 2 удовлетворяют условию
(1–2)T=К , К=1,2,... или (f 1 –f2)= к/2Т
Для векторного представления S1(t) и S2(t) могут быть выражены в виде


где , T - длительность одного элементарного битового интервала.
Векторное представление ортогональных сигналов S1(t) и S2(t) показано на Рис.13.13


















Функциональная схема для формирования сигнала ЧМ–2 показана на Рис.13.14.
Сигнал ЧМ–2 может быть генерирован при переключении двух генераторов, настроенных на частоты 1 и 2 (Рис.13.15) под управлением двоичного сигнала данных.
Учитывая, что генераторы независимы, возможны фазовые скачки при переходе от одного символа к другому. Фазовая неоднородность приводит к нежелательному расширению спектра сигнала ЧМ–2.
Этот недостаток устраняется в схеме модулятора, основанного на применении генератора, управляемого по напряжению (ГУН), показанного на Рис.13.16, имеющего характеристику частота–управляющее напряжение, показанную на Рис.13.17

























Спектр сигнала ЧМ–2 может быть приблизительно найден как наложение спектров сигналов АМ–2 с несущими частотами f1 и f2 (Рис.13.18). Частотная полоса, занимаемая сигналом ЧМ–2, может быть оценена по выражению
(13.4)
где отклонение f=f2–f1 выбирается, обычно, по условию
f=(0,52)/T
Случай f=0,5/T минимального отклонения (MSК–minimum shift кeying) обеспечивает самый узкий спектр, описанный выражением

Хотя модуляция MSK – частотная модуляция с минимальным сдвигом, а также её разновидность GMSK (Gaussian MSK) используемая в системе сотовой связи GSM, относятся к частотной модуляции, но в то же время по своим свойствам и методам реализации модуляторов и демодуляторов они могут рассматриваться как разновидность квадратурной фазовой модуляции со сдвигом OQPSK и будут более детально рассмотрены в следующей главе.
При фильтрации сигналов фильтром с характеристикой типа приподнятого косинуса, полоса спектра, занимаемого модулированным сигналом, может быть описана выражением
, (13.4а)
а при выборе - выражением
(13.4б)


13.3. Оптимальные приемники для сигналов двоичной модуляции

На Рис.13.19 представлена упрощенная блок-схема системы цифровой передачи








Проблема состоит в передаче двоичной последовательностиbi на выход системы. Для каждого битового элементарного интервала T модулятор формирует сигнал Si(t) с длительностью T в соответствии с поданным двоичным символом bi и примененным видом модуляции.
На протяжении передачи сигнала Si(t) в среде распространения, именуемой далее каналом, использованный сигнал искажается по причине несовершенства канала и помех (шумов), влияющих на сигнал. Поэтому сигнал r(t) на входе приемника отличается от переданного сигнала Si(t).
Для упрощения анализа принимаются в расчет следующие гипотезы:
– шум канала n(t) - аддитивный, белый гауссовский, спектральная плотность мощности которого N0/2 для частотной области ;
– при приеме считаются известными длительность символа T, а также частота и фаза несущей;
– не существует ограничений полосы.
Реальные системы цифровой передачи далеки от вышеупомянутых, то есть:
– при приеме точно неизвестны частота и фаза несущей;
– при приеме восстановление такта несовершенно;
– шум может не соответствовать всем гипотезам;
– канал может вносить ограничения полосы, исказив переданный сигнал;
– могут проявиться нелинейности канала.
На основании обработки полученного сигнала r(t)

в интервале наблюдения T приемник должен принять решение, который из возможных сигналов S1(t) или S2(t) был получен и, соответственно, который из двоичных символов bi (1” или 0”) был передан. Это является классической задачей теории связи – задачей идентификации сигнала. Если один из сигналов тождестсвенно равняется нулю, тогда мы имеем дело с частным случаем задачи идентификации – задачей обнаружения или поиска сигнала, состоящей в определении присутствия или отсутствия сигнала, искаженного шумом (двоичное обнаружение).

13.3.1. Оптимальные алгоритмы приема
Решение, принятое приемником, может быть правильным или нет. Одной из самых важных характеристик системы передачи является расчетный критерий верности,оцениваемый обычно, вероятностью ошибки при приеме одного двоичного символа Pe. Алгоритмы обработки, минимизирующие Pe, называются оптимальными, соответственно, демодуляторы, реализующие эти алгоритмы, называются оптимальными.
В теории оптимального приема при вышеупомянутых условиях приема сигналов Si(t), i=1,2,...,M средняя вероятность ошибки будет минимальной, если решение о переданном символе принимается на основании критерия максимального правдоподобия:
, i=1,2, ... M, (13.5)
который для случая бинарных сигналов (М=2) можно представить в виде
(13.5а)
где

Схема демодулятора, осуществляющая алгоритм (13.5) для бинарных сигналов (М=2), дана на Рис.13.20.








Решение о переданном символе принимается в блоке УПР (устройство принятия рещения) на основании сравнения напряжения U(T), полученного на выходе интегратора в конце битового интервала T с пороговым напряжением Uп=0,5(E1-E2). Для сигнала с энергией E1=E2 (сигналы с активной паузой) Uп=0.
Как видно из вышеизложенного, реализация алгоритма демодуляции требует формирования на приеме исходных сигналов S1(t) и S2(t), идентичных по форме и синхронизированных во времени с переданными сигналами. Для этого используются специальные цепи формирования исходных сигналов. Блок синхронизации извлекает информацию синхронизации из полученного сигнала r(t) и формирует управляющие сигналы, необходимые для правильного функционирования демодулятора (показано пунктирными линиями на Рис.13.20).
По общим схемам, представленным выше, как частные случаи могут быть получены функциональные схемы оптимальных демодуляторов для конкретных видов модуляции АМ-2,ФМ-2,ЧМ-2.

13.3.2. Демодулятор АМ-2.
Для АМ-2 сигнал S1(t)=Acosct, S2(t)=0. Отсюда следует, что S(t)=S1(t)=Acosct; E1=A2T/2, E2=0, а Uп=0,5E1=A2T/4 и алгоритм принятия решений (1.5а) становится
(13.6)
Функциональная схема демодулятора, реализующего алгоритм (13.6), дана на рис13.21 a.



















Предположив, что на вход приемника подается сигнал r(t)=s1(t) без шума (рис.13.21(б1)), получаем на выходе устройства умножения сигнал , а на выходе интегратора сигнал

Вклад в интеграл составляющей A/2*cos2ct в конце интервала интегрирования T практически незначителен, если cT1. Поэтому можно принять, что напряжение U(t) на выходе интегратора увеличивается линейно (Рис.13.21 б(2)) и в конце битового интервала T достигает максимального значения Um=AT/2. В момент t=T осуществляется выборка сигнала U(t) и сравнение с пороговым напряжением Uп=AT/4, для того, чтобы принять решение о переданном символе и аннулирование напряжения на выходе интегратора для обработки сигнала в следующем интервале. Разумеется, если использованный сигнал Si(t) смешивается с шумом, r(t)=Si(t)+n(t), тогда напряжение U(t) на выходе интегратора также будет содержать составляющую шума (Рис.13.21 б(3)), что может привести к ошибочному решению о полученном символе bi.
При передаче символа b2=0 сигнал S2(t)=0 и в отсутствии шума напряжение U(T)=0. Оптимальное пороговое напряжение Uп=AT/4 выбирается в середине интервала между U1=AT/2 и U2=0. Это означает, что при изменении амплитуды A сигнала, связанной, например, с измененниями условий распространения, пороговый уровень должен регулироваться автоматически. Это один из недостатков системы с модуляцией АМ-2.
При анализе функционирования демодулятора, проведенном выше, предполагалось, что исходный сигнал cosct имеет те же частоту и фазу, как и прибывший сигнал S1(t)=Acosct (такие сигналы называются когерентными). Оценим воздействие сдвига фазы  опорного сигнала cos(ct+). В этом случае сигнал на выходе перемножителя (смесителя) :

а напряжение интегратора (в отсутствии шума) в момент T становится U1(T)=AT/2*cos, то есть уменьшается c коэффициентом cos1. Это эквивалентно уменьшению энергии E1 полезного сигнала в интервале T и, соответственно, соотношения сигнал/шум на выходе интегратора с коэффициэнтом cos2. Для компенсации этого отрицательного эффекта было бы необходимо увеличение мощности излучаемого сигнала. При увеличении сдвига фазы до =90 функционирование системы становится невозможным. Исходя из условия, что уменьшение соотношения С/Ш из-за сдвига фазы  должно быть не больше 12dB (cos20.80.9), следует, что сдвиг фазы не должен превышать значение 1020.

13.3.3. Демодулятор ФМ-2.
Для фазовой модуляции ФМ-2 генерированные сигналы : S1(t)=Acosct и S2(t)=Acos(ct+)=Аcosct. Отсюда следует, что сигнал разности S(t)=S1(t)S2(t)= 2Acosct, E1=E2=A2T/2, Uп=0,5(E1-E2)=0, а алгоритм принятия решений принимает вид
(13.7)

Функциональная схема демодулятора, реализующего этот алгоритм, такая же, как и для АМ-2, данная на рис.13.21, только с тем отличием, что пороговое напряжение для ФМ-2 Uп=0.

Таким же образом может быть проведен анализ функционирования демодулятора ФМ-2. На Рис.13.22 показаны графики сигналов на входе демодулятора и на выходе интегратора,которые иллюстрируют процедуру принятия решения о переданном символе:
1) входной сигнал без шума
2) сигнал на выходе интегратора (в отсутствии шума)
3) сигнал на выходе интегратора (в присутствии шума)
Из анализа временных диаграмм, представленных на Рис.13.22, очевидно, что система передачи ФМ-2 является более устойчивой к помехам, чем система с АМ-2 в тех же условиях, так как резерв между пороговым напряжением и максимальным уровнем сигнала, использованного для ФМ-2, в два раза больше(AT/2 вместо AT/4 для АМ-2)
Как и для демодулятора АМ-2, в данном случае необходима синхронизация частоты и фазы опорного сигнала. У модуляции ФМ-2 есть один значительный недостаток, связанный с возможностью “функционирования с инверсией”.
Если фаза опорного сигнала будет установлена со сдвигом фазы =, тогда полярности сигналов на выходе интегратора изменятся, и все переданные символы “1” будут прняты как “0”, и наоборот.

















13.3.4. Демодулятор ЧМ-2.

Группа сигналов для ЧМ-2 : S1(t)=Acos1t и S2(t)=Acos2t с равными энергиями E1=E2=A2T/2, для которых может быть использован алгоритм
(13.8)
Функциональная схема когерентного демодулятора ЧМ-2 дана на Рис.13.23













Представленные выше схемы оптимальных демодуляторов сигналов АМ-2, ФМ-2, ЧМ-2 требуют формирования на приеме опрных сигналов с той же частотой и фазой, как и сигнала-носителя. Такие методы приема, которые используют информацию о начальной фазе сигнала-несущей, называются когерентными. Таким образом, рассмотренные выше демодуляторы являются когерентными.
Учитывая, что основным элементом выше представленных схем реализации демодуляторов является коррелятор, они также называются демодуляторами с корреляторами.

13.3.5. Оптимальные детекторы с согласованными фильтрами.

Результаты, характерные для демодуляторов с корреляторами, могут быть также получены при использовании демодуляторов с так называемыми согласованными фильтрами (СФ). Структура приемника показана на Рис13.24.










На протяжении одного символьного интервала T передается один из двух сигналов S1(t) или S2(t), на который накладывается шум канала n(t). Решение принимается в конце каждого интервала. Приемник состоит из линейного фильтра, цепи выборки и устройства принятия решений (пороговый детектор). Начальные условия фильтра установлены на нуле в начале каждого интервала сигнализации T. Правило принятия решения следующее: если значение отсчета в момент T больше, чем порог , принимается решение о том, что был передан сигнал S1(t); в противном случае - S2(t).
Пример . СФ для синусоидального прямоугольного импульса
S(t)=Asin0t , 0  t  T
S(t)=0 , t<0 , t>T
Если интервал T состоит из нечетного числа полупериодов колебания с частотой 0, то есть 0T=(2n+1), тогда весовая функция СФ имеет вид:
h0(t)=Asin0(T–t)=Asin[(2n+1)–0t]=Asin0t
Такой отклик на единичный импульс может быть реализован, по крайней мере, приближенно, со структурой, содержащей резонансную цепь с небольшими потерями (Рис.13.25 a)
















Если в интервал T входит четное число полупериодов колебания, тогда вместо вычитателя используется сумматор. При нецелом числе полупериодов добавляется фазовращатель в последовательном соединении с линией задержки. Форма отклика на синусоидальный импульс S(t) показана на Рис.13.25 б.
Функциональные схемы демодуляторов с СФ могут быть получены из соответствующих схем с корреляторами, замещая корреляторы на СФ. На Рис. 13.26 дана схема демодулятора с СФ для АМ–2. Та же схема может быть использована и для ФМ–2, только с тем отличием, что пороговое напряжение в этом случае Uп=0. На Рис.13.27 представлена схема демодулятора с СФ для ЧМ–2.








На первый взгляд, схемы приемников с СФ более просты, чем схемы с корреляторами, поскольку не требуют формирования когерентных опорных сигналов. Но в этом случае более остра проблема отклонения моментов зондирования. Из Рис.13.25 б следует, что максимальное значение отклика y(t) имеет место точно в момент t=T, а при отклонении от этого момента y(t) резко падает. Поэтому зондирование должно осуществляться при отклонении t<

13.4. Характеристики оптимальных демодуляторов

Характеристики демодуляторов оцениваются вероятностью ошибки полученного символа. Ошибка решения появляется тогда, когда символ , оцененный демодулятором, отличается от переданного на самом деле символа b в данный интервал времени.
Сигнал на входе приемника :
r(t)=S1(t)+n(t), если был передан S1(t);
r(t)=S2(t)+n(t), если был передан S2(t).
Если вероятности априори p(b1) и p(b2) появления двоичных символов b1 и b2 известны, тогда средняя вероятность ошибки :
Pe=p(b1)p(b2/b1)+ p(b2)p(b1/b2)
где p(bi/bj)(i,j=1,2) является вероятностью, обусловленной ошибочным решением о передаче символа bi, тогда как в действительности был передан символ bj.
Обычно, можно считать, что символы b1, b2 равновероятны: p(b1)=p(b2)=0,5. Тогда имеем
Pe=0,5[p(b2/b1)+p(b1/b2)] (13.9)
Если p(b2/b1)=p(b1/b2) (симетричный канал), тогда
Pe= p(b2/b1)=p(b1/b2) (13.10)
Согласно оптимальному алгоритму обработки демодулятор как с коррелятором, так и с СФ принимает решение посредством проверки неравенства
(13.11)
При выполнении неравенства (13.11) демодулятор регистрирует символ 1, соответствующий сигналу S1(t), в противном случае – символ 0, соответствующий сигналу S2(t). Если передается символ 1, тогда r(t)=S1(t)+n(t). Условная вероятность ошибки p(b2/b1) определяется вероятностью того факта, что неравенство (13.11) не выполняется, то есть вероятностью выполнения обратного неравенства

которое легко преобразуется следующим образом:
(13.12)
Поэтому, вероятность выполнения неравенства (13.12), то есть вероятность ошибки находится исходя из выражения
(13.13)
где было произведено замещение переменной U= , параметр  равен
,
а - комплементарная функция ошибки, отнесеннаая к стандартному гауссовому распределению. Простая оценка вероятности ошибки может быть осуществлена приближенно по формуле
, если x>3
Выражение (13.13), представленное в виде
) (13.14)

показывает, что устойчивость к помехам (вероятность ошибки) при данном значении интенсивности шума N0 зависит только от энергии EΔ сигнала разности SΔ(t)
(13.15)
которая равняется квадрату расстояния между вершинами векторов сигналов (точки сигналов) в пространстве Гильберта сигналов. Устойчивость к помехам тем больше (вероятность ошибки тем меньше), чем больше растояние d12 между сигналами S1 и S2
) (13.16)
Для оценки Pe может быть использована не только функция Q(x), но и другие специальные функции, например erfx, erfc(x), функция Крампа Ф(х) и др.
Применение для различных видов модуляции.
Результаты, полученные выше будут применены для целого ряда методов модуляции, характерных для двоичной передачи.
Двоичная фазовая модуляция ФМ-2 (BPSК-binary phase shift кeying)
В этом случае считается
S1(t)=Acosωct
S2(t)=Acosωct
S∆(t)=2Acosωct
а E∆ исходя из выражения (13.15) :
E∆=d122= ,
где Eb=A2T/2 представляет собой битовую энергию. Вероятность ошибки, полученная исходя из выражения (13.14)
Pe=Q( (13.17)
одна и та же, что и в случае передачи диаметрально противоположных (антиподальных или биполярных) сигналов в основной полосе частот.
Двоичная частотная модуляция ЧМ-2 (BFSК-binary frequency shift кeying)
В этом случае имеем
S1(t)=Acosω1t,
S2(t)=Acosω2t,
(13.18)
Несущие частоты ω1 и ω2 для ЧМ-2 выбираются, обычно, исходя из условия ортогональности.


Предположив, что сигналы S1(t) и S2(t) являются ортогональными, получаем из (13.18)
EΔ=2Eb,
где Eb=A2T/2 является битовой энергией, а вероятность ошибки для ЧМ-2 :
Pe=Q (13.19)
Двоичная амплитудная модуляция АМ-2 (ASК-amplitude shift кeying):
Применяемые сигналы:
S1(t)=Acosωct
S2(t)=0
Согласно выражению (13.15) определяем
EΔ= ,
Вероятность ошибки по выражению (13.14) равна:
(13.20)
где через Ebm обозначена средняя битовая энергия
,
учитывая, что при передаче АМ-2 энергия в битовых интервалах 0” не передается. При передачах ФМ-2 и ЧМ-2 (сигналы с активной паузой) Ebm=Eb.
Если введем специальный параметр h2=Eb/N0, который бы оценивал соотношение сигнал/шум на входе демодулятора, тогда вероятность ошибки для трех видов двоичной модуляции можно представить в виде:
ФМ-2: ;
ЧМ-2: (13.21)
АМ-2: ;
Отсюда следует, что при той же вероятности ошибки при переходе от ФМ-2 к ЧМ-2 требуется увеличение мощности сигнала в 2 раза (3дб), а для АМ-2 - в 4 раза (6дб). Однако, если сравнение производится не по максимальной мощности, а по средней мощности, тогда ФМ-2 получает энергетический выигрыш, который равняется 2 (3дб) по сравнению с ЧМ-2 и АМ-2.
Эти выводы могут быть проиллюстрированы посредством векторного представления сигналов ФМ-2 (a), ЧМ-2 (б), АМ-2 (в) (Рис.13.28)














На Рис.13.28 в двухмерном пространстве показаны векторы сигналов для двоичной модуляции:
a) –ФМ-2 с диаметрально противоположными сигналами S1(t)=-S2(t);
b) –ЧМ-2 с ортогональными сигналами

c) –АМ-2 с сигналами S2(t)=0, S1(t) с энергией

Из Рис.13.28 видно, что квадрат расстояния d122 между сигналами S1 и S2 (количественно равный энергии EΔ) для ФМ-2 в 2 раза больше, чем для ЧМ-2 и в 4 раза – чем для АМ-2. Это подтверждает выводы, сделанные выше о приоритете ФМ-2 в том, что касается устойчивости к помехам.
Устойчивость к помехам для различных систем модуляции может трактоваться и с точки зрения коэффициента корреляции сигналов S1(t) и S2(t). Для сигналов с активной паузой или, другими словами, с равными энергиями E1= параметр α, введенный в выражение (13.13) для Pe, может быть выражен следующим образом:
(13.22)

где h2= - коэффициент взаимной корреляции сигналов S1(t) и S2(t).
В этом случае вероятность ошибки Pe может быть найдена исходя из выражения (13.14) в виде:
(13.23)

Значения параметра ρ12 расположены в пределах
,
где ρ12=-1 - для диаметрально противоположных сигналов, например ФМ-2; ρ12=1 - для идентичных сигналов S1(t)=S2(t), при которых не является возможной передача информации. Для ортогональных сигналов ρ12=0. Отсюда легко выводятся выражения (13.21).
На Рис.13.29 показаны графики вероятности ошибки Pe в зависимости от отношения h2=Eб/N0 для трех анализированных видов модуляции и оптимальных методов когерентного приема.
Эти методы обеспечивают в данных условиях самую высокую устойчивость к помехам, то есть показывают высший предел, который не может быть превзойден ни в одной реальной системе.
Для значения γh>3 вероятность Pe может быть приблизительно расчитана исходя из выражения:
(13.24)
где: γ=1/ для АМ-2 ; γ=1 для ЧМ-2; γ= для ФМ-2.
















13.6. Передача данных с дифференциальной двоичной фазовой модуляцией
Посредством фазовой модуляции информация (последовательность данных dn ) переводится в последовательность абсолютных значений фаз n (абсолютная фазовая модуляция АФМ).
Значения модулированного параметра  для двоичного случая - 0,.
Передача данных с помощью ФМ должна быть синхронной, изменение модулированного параметра происходит в моменты, кратные интервалу времени T.
Восстановление последовательности фаз n при приеме требует использования местного опорного сигнала с той же частотой и фазой, что и немодулированная несущая. Однако на практике фаза несущей выделяется из принятого сигнала путём осуществления некоторых нелинейных операций, например, возведение сигнала ФМ-2 в квадрат, за которым следует фильтрация двойной частоты 2c и деление ее на 2. По этой причине получение несущей возможно только с фазовой неоднозначностью в  (для двоичного случая). Это означает, что фаза восстановленного носителя непредвиденно может принять любое значение: или 0, или ., Если в какой-то момент времени фаза опорного сигнала изменится на  по отношению к необходимому значению, тогда все двоичные символы будут регистрироваться с инверсией (10, 01). Поскольку эти фазовые скачки нельзя предусмотреть, использование системы ФМ-2 становится проблематичным. По этой причине практически предпочитается дифференциальная фазовая модуляция (ДФМ), при которой информация переводится не в последовательность абсолютных значений фаз n, а в последовательность разниц n=n-n-1. Иногда эта фазовая модуляция также называется относительной фазовой модуляцией (ОФМ).
Для обычной фазовой модуляции (абсолютной) информативные данные определяют абсолютное значение фазы модулированного сигнала в сравнении с фазой немодулированной несущей с использованием, например, правила:
(13.25)
может быть использовано и обратное соглашение;

При дифференциальной модуляции информационные данные в данном интервале n (dn) определяют фазу модулированного сигнала по правилу
(13.26)
где n - фаза сигнала в интервале n, n-1 – фаза в предыдущем интервале (n-1), n - изменение фазы n в текущем интервале n, относительно фазы n-1 в предыдущем интервале, или, другими словами, разница фаз

При двоичной ДФМ разница фаз  может принять два значения 0 или  в зависимости от переданного двоичного символа, например, в соответствии с соглашением:
(13.27)
Разумеется, может быть принято и обратное соглашение.
Для иллюстрации ниже представлена последовательность данных dn и фаз сигнала ФМ-2 и ДФМ-2, сформированных в соответствии с выбранными соглашениями (13.25) и (13.27):
(13.28)
Приемник оценивает разницу фаз между двумя последовательными интервалами независимо от значения абсолютной фазы. Решение о переданном символе приемник может принять на основании правила: регистрируется символ dn=”1”, если фаза n отличается на  по отношению к фазе n-1 в предыдущем интервале и, соответственно, dn=”0”, если n =n-1 (=0).
Дифференциальная фазовая модуляция осуществляется, обычно, с помощью обычного модулятора по абсолютной фазе, но с предварительным кодированием символов данных в дифференциальном кодере. Возможная схема реализации этого кодера дана на рис.13.30. Она состоит из сумматора по модулю 2 (логический элемент “исключающее ИЛИ”) и элемента задержки на битовый интервал T (элемент памяти). Кодированный символ на выходе кодера определяется исходя из выражения:
, (13.29)
где dn – двоичный символ данных, пришедший на вход, Cn-1 - кодированный символ в предыдущем битовом интервале (n-1), - оператор сложения по модулю два .






В первом битовом интервале передается не информационный бит, а служебный, для получения точки отсчета фазы для следующего интервала, с которого начинается передача информации. Поэтому начальное состояние кодера не имеет значения. Если, например, исходное состояние C1=1, тогда для последовательности данных, представленной выше, последовательность кодированных символов Cn и последовательность фаз на выходе модулятора ФМ-2 получат значения, показанные ниже. При формировании фаз модулированного сигнала на выходе модулятора ФМ-2 было принято условное обозначение:






Выражение (13.30) показывает, что таким образом может быть получена последовательность фаз ДФМ в соответствии с выбранным соглашением (13.27).
Структурная схема модулятора ДФМ, состоящая из кодера и модулятора ФМ-2, представлена на Рис.13.31a, а на Рис.13.31б дан более детально один из возможных вариантов реализации модулятора ДФМ.














В преобразователе уровня осуществляется преобразование двоичных символов Cn(0,1) в соответствии с законом: 1 +1 , 0 -1. В этом случае фаза модулированного сигнала dn получит значения, указанные в таблице (13.30), соответствующей представленным выше правилам дифференциальной модуляции.
Нужно отметить, что представленная схема модулятора не является единственной. Могут применяться и другие схемы и другие условные соглашения преобразования. На Рис. 13.32 дана иная схема реализации модулятора.








Дифференциальный кодер в данном случае содержит преобразователь уровня, который преобразует символы данных согласно правилу : 1 -1 , 0 +1, блок умножения и элемент задержки на битовый интервал T. Если dn=0, тогда dn= 1, Cn= Cn-1• 1 =Cn-1. Если dn=1, тогда dn=-1, а Cn= Cn-1•(-1)= -Cn-1. Таким образом, при приходе символа dn =0 фаза модулированного сигнала n= n-1, а при приходе dn =1 фаза n= n-1 + в соответствии с принятым условным соглашением по правилу модуляции.
Демодуляция сигнала ДФМ-2 может быть осуществлена различными методами. Один из возможных методов, именуемый когерентной демодуляцией”, состоит в использовании когерентного демодулятора ФМ-2, например, представленного выше на Рис.13.21, за которым следует дифференциальный декодер (рис.13.33).












Учитывая, что схема модулятора ДФМ-2 состоит из модулятора ФМ-2 и дифференциального предкодера (Рис.13.31a) следует, что в этом случае система передачи ДФМ-2 является фактически системой передачи ФМ-2 с добавлением дифференциального предкодера на передаче и постдекодера на приёме.
Дифференциальный декодер может быть осуществлен по схеме, данной на Рис.13.34, он состоит из тех же самых элементов, что и кодер: сумматор по модулю два и элемент задержки на T. На его вход подаются двоичные кодированные символы , восстановленные на выходе демодулятора ФМ-2 и символы с предыдущего интервала . Символы на выходе декодера формируются по правилу:
= 
Если символы и идентичны, имеем = 0, в противном случае = 1.
Для примера, ниже приведены последовательности фаз принятого сигнала ДФМ, взятые исходя из выражения (13.30) и символов и , восстановленных при правильном приеме (без ошибок). Принятые символы соответствуют переданным dn.



Если в какой-то момент, например, в интервале 6, фаза опорного сигнала в когерентном демодуляторе изменилась на  (Cos ct  Cos (ct +) или наоборот), тогда все двоичные символы , начиная с этого интервала, будут приняты инвертированными до следующего скачка фазы. В системе передачи ФМ-2 это приводит к очень неприятным последствиям. Для системы ДФМ-2 это приведет в данном примере к ошибке только в одном битовом интервале, поскольку переданная информация не извлекается из значения символов , а из разницы символов в соседних интервалах.
Рассмотренная система передачи, с дифференциальным предкодированием на передаче, когерентной демодуляцией и дифференциальным декодированием на приеме (Рис.13.35), иногда называется DEPSК (Diferentially encoded phase shift кeying)







В отсутствии ошибок символ dn на выходе декодера идентичен переданному

поскольку
Если символ является ошибочным, тогда - тоже будет с ошибкой и очень возможно, что также будет с ошибкой, поскольку символ , хранящийся в памяти, используется при принятии решения и в следующем интервале (n+1). Таким образом, ошибки, обычно, группируются в пары. Поэтому вероятность ошибки практически увеличивается вдвое по сравнению с передачей ФМ-2 и может быть определена, исходя из выражения
(13.32)
Это ведет к небольшому ухудшению, на 0,51дБ, энергетической эффективности системы, то есть требует увеличения энергии сигнала ДФМ-2 на 0,51дБ по сравнению с ФМ-2 при той же вероятности ошибки. Это, фактически, является платой за устранение явления возможного инверсного функционирования у ФМ-2.
Метод когерентного или корреляционного приема сигнала ДФМ-2, рассмотренный выше, требует восстановления несущей в когерентном демодуляторе ФМ-2, поэтому приемник является достаточно сложным и дорогим.
Помимо метода когерентного приема также используется некогерентный метод или метод автокорелляции, который не требует подсистемы для восстановления фазы несущей. В качестве опорного сигнала для фазового детектора при приеме сигнала r(t) в текущем интервале n используется сигнал
-1(t) с предыдущего интервала, занесенный в ячейку памяти (элемент задержки на T) (Рис.13.36)






Если в текущем интервале времени nT  t  (n+1)T принятый сигнал
(t)=Acos(0t+n), а сигналом с предыдущего интервала ( n-1)T  t  nT является
-1(t)=Acos(0t+n-1), тогда на выходе устройства умножения имеем сигнал

Составляющая с двойной частотой 20 будет подаваться интегратором или фильтром нижних частот вместо интегратора. Если разница фаз (n-n-1)=0, тогда yn0, а устройство принятия решений принимает решение о передаче символа dn=0, в соответствии с выбранным правилом дифференциального кодирования на передаче. Если (n-n-1)=, тогда УПР принимает решение о том, что dn=1. Решение принимается на основании оценки разности фаз принятого сигнала в соседних интервалах. Поэтому этот тип приема иногда называется DPSК (Diferential phase shift кeying). Дифференциальное кодирование на передаче осуществляется таким же образом, что и для DEPSК.
Демодуляция DPSК проще, поскольку не требует восстановления когерентной несущей, как при когерентной демодуляции, и поэтому очень широко используется. Однако DPSК обладает более низкой устойчивостью к помехам, поскольку использует в качестве опорного сигнала искаженную шумом версию входного сигнала с предыдущего интервала, вместо хорошо фильтрованного опорного сигнал от подсистемы восстановления несущей. Вероятность ошибки для передачи DPSК :
(13.33)
Можно показать, что некогерентный прием DPSК хуже приблизительно на 1дБ в отношении Eб/N0 по сравнению с когерентным приемом DEPSК (13.32).
В некоторых случаях фаза принятого сигнала очень быстро варьирует (например, в мобильных коммуникациях). В этом случае для приема DPSК сигнала с неизвестной начальной фазой (произвольной) может быть использована схема демодулятора, представленная на (Рис.13.37)












Демодулятор измеряет сигналы I1,Q1 на выходах интеграторов (или ФНЧ), формированные в текущий момент зондирования nT, и сравнивает их с задержанными сигналами I0,Q0, с предыдущего интервала (n-1)T. Решение о переданном символе принимается согласно правилу:


Методы передачи с дифференциальной модуляцией используется м иимеют вид:
S1(t)=A0cos(ct), 0tT
S2(t)=A0cos(c+)t, 0tT
где  достаточной величины настолько, чтобы средняя спектральная плотность мощности была бы сосредоточена вокруг частот c=1 и c+=2, без наложений. Обычно рекомендуется отклонение f(0.751)/T. Тогда эффективная ширина спектра сигнала ЧМ-2 может быть оценена приближенно из выражения
Be(23)/T
На практике используются много вариантов демодуляции сигналов ЧМ-2. Одна из возможных схем некогерентного демодулятора ЧМ-2 дана на Рис.13.45.




















Видно, что используется два фильтра ППФ, настроенные на две частоты, соответствующие двоичным символам f1 и f2, а сигнал, полученный на их выходе, поступает в детекторы огибающей. Извлеченные огибающие подвергаются выборке и с помощью компаратора решается, какой канал обладает большим уровнем на выходе, то есть какой символ был передан.
На Рис.13.46 показан дифференциальный демодулятор сигналов ЧМ-2. Принятый сигнал умножается на свою копию, задержанную на , и затем пропускается через фильтр нижних частот. Считаем, что сигнал на входе :
r(t)=A0cos(0+)t
где 0=0,5(1+2) - частотa немодулированной несущей.
На выходе устройства, осуществляющего произведение между данным сигналом и тем же сигналом, задержанным на , получаем:

Фильтруя этот сигнал и выбрав  по условию
0=/2
получаем

Если  достаточно мала, видно, что сигнал, демодулированный на выходе ФНЧ, пропорционален отклонению частоты

Более того, для двоичных систем не требуется пропорциональность, поскольку решение принимается только на основании знака обнаруженного напряжения.

Демодулятор ЧМ-2 на основе счетчика импульсов
Демодулятор ЧМ-2 на основе счетчика импульсов показан на Рис.13.47.






Этот демодулятор использует преобразование сигнала ЧМ в последовательность импульсов, модулированных по положению. Сигналы такого типа обладают спектром низких частот, который является спектром модулирующего сигнала. С помощью ФНЧ этот сигнал может быть извлечен.
Сигнал ЧМ-2 ограничен по амплитуде так, что на выходе из ограничителя (a) получаются импульсы длительностью, равной периоду сигнала (Рис.13.48a). В последовательности интервалов T получаем импульсы следующего вида в разных точках схемы с различными частотами повторения, соответствующими последовательности данных (-1,1), соответствующую сигналам частот 0- и 0+.




















После дифференцирования получаем последовательность очень коротких импульсов Рис.13.48 б. С помощью выпрямителя удаляются отрицательные импульсы, затем с помощью моностабильного устройства (формирователя импульсов) осуществляется переход к прямоугольным импульсам амплитуды A0 и ширины  (Рис.13.48в). Эти импульсы имеют постоянную составляющую, которая, будучи выделенной с помощью ФНЧ, имеет значение
(13.40)
где 0/2 - частотa f0 немодулированной несущей; F(0)функция передачи ФНЧ на частоте f=0.
Если импульсы будут иметь частоту повторения больше, чем f0, постоянная составляющая будет возрастать по сравнению со значением, данным по выражению (13.40); если частотa будет меньше  U0(t) снизится (Рис.13.48 г). Обнаруженное напряжение, фактически, пропорционально числу импульсов, прошедших за интервал T. Устройство принятия решений, не показанное на Рис.13.48, на основании анализа этого напряжения принимает решение о переданном символе.










Демодулятор ЧМ на основе петли PLL (ФАПЧ)
Демодулятор показан на Рис.13.49










Этот демодулятор использует специальный блок автоматического регулирования фазы PLL (phase-locked loop), применяемый очень часто в настоящее время в коммуникационных системах при восстановлении несущей.
PLL состоит из трех блоков: генератора управляемого по напряжению (ГУН), формирующего синусоидальные колебания с частотой, пропорциональной напряжению на входе, детектора фазы (часто реализованного как устройство умножения), напряжение на выходе которого пропорционально разнице фаз двух сигналов на его входах, и фильтра нижних частот.
Система PLL действует посредством сравнения фаз входного сигнала и сигнала, формированного ГУН, и использует напряжение, обусловленное разницей фаз при изменении частоты и фазы сформированного в ГУН колебания, для их подстройки к частоте и фазе входного сигнала. Система PLL достигает стационарного состояния тогда, когда среднее напряжение на выходе детектора фазы является нулевым. Если частотa входного сигнала колеблется между значениями f1 и f2, тогда на выходе ФНЧ появляется напряжение ошибки, формированное детектором фазы. Учитывая, что есть только две входные частоты (f1 и f2), то есть только два напряжения ошибки на выходе ФНЧ. Одно представляет логический символ 1, а другое - символ 0. Начальная частотa генератора ГУН выбирается равной центральной частоте f0=0,5(f1+f2). Таким образом, вариации напряжения ошибки на выходе ФНЧ, подключенного на выходе PLL, симметричны по отношению к нулю. Устройство принятия решений, подключенное на выходе PLL, формирует двоичные символы 1 и 0.
Анализ устойчивости к помехам, проведенный для демодулятора ЧМ-2, представленного на Рис.13.45, показывает, что вероятность ошибки может быть оценена исходя из выражения
Pen=0,5exp(-h2/2) (13.41)
где  соотношение сигнал/шум на входе демодулятора; Be – эффективная полоса фильтра ПФ на его входе. Сравнив этот результат с вероятностью ошибки оптимального когерентного демодулятора (13.21), которая для больших значений h03 может быть приблизительно выражена в виде:

можно сделать выводы о потерях при некогерентном приеме:
1) При том же значении соотношения сигнал/шум h=h0 рост вероятности ошибки определяется значением
(13.42)
2) При той же вероятности ошибки разница в энергетических затратах характеризуется значением
(13.43)
Это означает, что некогерентный прием для обеспечения Pe =10-310-6 требует увеличения мощности сигнала на 1520 по отношению к оптимальному когерентному приему, то есть на 12дБ.
Сравнив устойчивость к помехам для методов некогерентного приема при дифференциальной фазовой модуляции (13.33), амплитудной модуляции (13.35 и 13.39), частотной модуляции (13.41), можно получить выражение вероятности ошибки в общей форме
Pe0,5exp(-m2h2/2) (13.44)
где m – коэффициент, зависящий от вида модуляции ( для ДФМ-2, для ЧМ-2, для АМ-2). Из выражения (13.44) следует, что для обеспечения данной вероятности ошибки Pe необходимо обеспечить соотношение сигнал/шум на входе приемника равное
(13.45)
В реальных системах из-за неидеальности синхронизации и межсимвольных искажений отношение h2 нужно, обычно, увеличивать в большей мере.





















































13.8. Решенные задачи

Р3.13.1. Модем передает двоичные данные со скоростью 2400 бит/с по каналу со стандартной полосой 300 3400 Гц используя модуляцию ФМ-2. Определить:
а) символьную скорость; б) максимально возможную битовую скорость.
Решение
а) Символьная скорость связана с битовой скоростью соотношением
,
где М=2 для бинарной передачи. Поэтому в данном случае численно совпадает с и равна .
б) Для ФМ-2 скорость передачи информации и требуемая полоса частот канала связаны соотношением
,
где –параметр результирующей частотной характериастики тракта. Принимая минимально возможное теоретически значение находим, что предельная скорость передачи информации будет равна
.
Рост при той же полосе возможен при использовании не бинарной, а многоуровневой, М-арной модуляции.

Р3.13.2. Система радиосвязи передает данные со скоростью Rb = 34 мбит/с, используя модуляцию: а) ФМ - 2; б) ЧМ - 2.
Определить в обоих случаях требуемую полосу частот fmin fmax, предполагая, что несущая частота f0 = 120 МГц, а при ЧМ - 2 используется некогерентный прием.
Решение
а) Полоса частот сигнала ФМ - 2 определяется соотношением:
ВФМ – 2 = Rb (1+ ), 0 1
Поскольку значение параметра не задано выберем его среднее значение = 0.5 и находим
ВФМ – 2 = 34*106 (1+0.5) = 51*106 МГц
Эта полоса частот расположена симметрично относительно несущей частоты f0, т.е.
fmin = f0-0.5 BФМ – 2 = 120 – 25.5 = 94.5 Мгц
fmax = f0 + 0.5 ВФМ – 2 = 120+25.5 = 145.5 МГц
б) Полоса частот сигнала ЧМ - 2 определяется уравнением
ВЧМ – 2 = f+(1+ )/T
где расстояние f между частотами f1 и f2 соответствующими передаче 1 и 0 при некогерентном приеме выбирается равным f = 1/T, где T = 1/Rb –длительность битового интервала. При таком выборе (здесь, правда, следует отметить, что он не единственно возможный, могут быть и другие варианты) занимаемая полоса частот будет равна
ВЧМ – 2 = Rb+Rb(1+ ) = Rb(2+ ) = 34*106(2+0.5) = 85 МГц
Граничные частоты спектра при этом равны
fmin = f0-0.5 ВЧМ -2 = 120-42.5 = 77.5 МГц
fmax = f0+0.5 ВЧМ – 2 = 120+42.5 = 162.5 МГц

Р3.13.3. Система цифровой связи использует модуляцию АМ-2. Ненулевой символ на входе оптимального приемника на согласованном фильтре представляет синусоидальный импульс с прямоугольной огибающей амплитудой 0.1 В и длительностью 0.1 мс. На входе СФ действует белый гауссовский шум имеющий в полосе частот 10 кГц среднеквадратичное значение = 0.14 В. Определить вероятность ошибки бита.
Решение
Энергия ненулевого символа равна
Eb = A2 T/2 = (0.1)2*10-3/2 = 5*10-5 (B2*C)
Средняя энергия на один бит равна половине этой величины
Ebm = Eb/2 = 0.5 (Eb+0) = 2.5*10-5 (B2*C)
Спектральная плотность мощности шума равна
N0 = N/BN = 2/BN = (0.14)2/10*103 = 1.96*10-6 (В2/Гц)
Вероятность ошибки определяется соотношением
Pb=Q( )=Q( )=
=Q( ) =
= Q ( )= =1.8*10-4

Р3.13.4. Средняя мощность сигнала АМ - 2 на входе корреляционного демодулятора равна 8нВт, спектральная плотность шума N0 =2*10-14 BT/Гц. Какова максимально возможная скорость передачи информации в этой системе, при которой будет обеспечена вероятность ошибки бита .

Решение
Вероятность ошибки в корреляционном демодуляторе определяется соотношением
Pb = Q ( )
Используя таблицы или графики функции Q (x) определяем значение аргумента x0 при котором обеспечивается значение функции Q (x0) = 10-6. Это значение равно x0 = 4.75. Отсюда следует, что
Ebm/N0 = 22.56
и
Ebm = = 22.56*2*10-14 = 45.12*10-14 (Дж)
Учитывая, что средняя энергия символа связана со средней мощностью сигнала Psm и длительность символа Т соотношением
Ebm = PsmT
определяем минимально допустимую длительность бита
Tmin = Ebm/Psm = 45.12*10-14/8*10-9=5.64*10-5 c
и максимально допустимую скорость передачи
Rb,max = 1/Tmin = 1/5.64*10-5=17.7*103=17.7 кбит/с

Р3.13.5. Модем передает данные со скоростью 500 бод используя ЧМ - 2 в которой одна из двух передаваемых частот (меньшая) f1 = 1200 Гц. Определить вторую частоту f2 из условия, что сигналы S1 (t) и S2 (t) должны быть ортогональны, а на приеме используется некогерентный демодулятор.Оценить ширину спектра частот сигнала ЧМ – 2 по первым нулям.
Решение
Минимально возможный разнос частот f = f2 – f1 при котором обеспечивается ортогональность передаваемых сигналов равна 1/2T = Rs/2. Однако такое значение допустимо использовать только при когерентном приеме. Для некогерентного приема минимально допустимый разноc f = 1/T = Rs = 600 Гц. Следовательно
f2 = f1+ f = 1200+600 = 1800 Гц
Ширина спектра сигнала по первым нулям равна
BЧМ – 2 = f+ = + = = 3Rs = 3*500 = 1500 Гц
При этом минимальная частота спектра равна
fmin = f1- = f1-Rs = 1200-500 = 700 Гц,
а максимальная частота
fmax = f2+ = f2+Rs = 1800+500 = 2300 Гц
Р3.13.6. Система передачи ФМ - 2 обеспечивает на входе корреляционного демодулятора отношение сигнал шум (S/N) = 4 дб, где S - мощность сигнала,
N - мощность шума на выходе канала с полосой B = 3.6 кГц. Определить вероятность ошибки бита, если скорость передачи Rb = 1 кбит/c.

Решение
Мощность шума на выходе канала N = N0B, откуда следует, что спектральная плотность мощности шума N0 = N/B.
Энергия бита Eb = S*T, где T = 1/Rb - длительность битового интервала. Следовательно, отношение (Eb/N0) можно выразить через отношение (S/N) в виде
(Eb/N0) = (S*T)/(N/B) = (S/N)BT = (S/N)(B/Rb)
Подставляя численные значения B = 3.6*103, Rb = 103, (S/N)дб = 4 дб, что соответствует значению
(S/N) = 104/10 = 2.512
получаем
(Eb/N0) = 2.512*3.6*103/103 = 9.05
Вероятность ошибки бита для ФМ - 2 определяется формулой
Pb = Q ( ) = Q ( ) = Q (4.25) = 1.1*10-5

Р3. 13. 7 . а) Опишите, что означают понятия:
1) бинарная частотная модуляция (ЧМ – 2)
2) относительная (дифференциальная) фазовая модуляция (ОФМ – 2)
б) Резюмируйте достоинства и недостатки каждого из этих методов передачи данных по телефонным каналам.



Решение
а) При ЧМ - 2 передаются отрезки синусоидальных колебаний с постоянной амплитудой, но различными частотами f1 или f2 при передаче символов “1” или “0”
При модуляции ОФМ - 2 передаются отрезки синусоидальных колебаний с постоянной амплитудой и частотой, но с разной начальной фазой φ0, которая зависит от передаваемого двоичного символа. При этом, например, при передаче на данном интервале n символа О начальная фаза остается такой же как на предыдущем битовом интервале,
, а при передаче символа 1 фаза изменяется на (1800) по отношению к фазе на предыдущем интервале, т.е.

Возможна, в принципе, и другая конвенция, когда фаза изменяется на по отношению к предыдущему интервалу при передаче О и остается неизменной при передаче1.

б) Достоинства и недостатки этих методов передачи данных по телефонным каналам:

Преимущества ЧМ - 2:
1) постоянная огибающая (в отличие от АМ -2);
3) простота реализации модулятора и демодулятора при работе на низких скоростях.

Недостатки ЧМ -2:
1) более уязвима к искажениям (неравномерности) группового времени задержки телефонных каналов чем ФМ -2 и ОФМ - 2;
2) менее помехоустойчива чем ФМ -2 и ОФМ - 2 , т.е. для обеспечения той же вероятности ошибки требует более высокого отношения сигнал.шум на приеме;
3) на высоких скоростях передачи не могут использоваться простые схемы демодуляторов и по сложности реализации демодуляторы ЧМ-2 становятся сопоставимы с демодуляторами ОФМ - 2, т.е. теряется преимущество простоты реализации ЧМ -2
Преимущества ОФМ - 2:
1) более помехоустойчива, чем ЧМ – 2 и АМ - 2, т.е. для обеспечения той же вероятности ошибки требует меньшего отношения сигнал/шум;
2) менее чувствительна к неравномерности группового времени запаздывания канала чем ЧМ - 2;
3) ОФМ – 2 имеет дополнительное преимущество в том, что она менее чувствительна к вариации фазовой задержки вносимой каналом и к инверсии фазы опорного генератора демодулятора.

Недостатки ОФМ - 2:
1) не сохраняет постоянную огибающую при прохождении сигнала через селективные цепи, поскольку в моменты скачков фазы на амплитуда огибающей из-за возникающих переходных процессов испытывает резкие изменения, что может привести к появлению нелинейных искажений и расширению спектра;
2) приемник является достаточно сложным даже на низких скоростях передачи.




13.9. Предложенные задачи

П3.13.1 Система связи ЧМ-2 передает равновероятно сигналы S1(t)=Acos(200 πt) и S2(t)=(2200πt) на интервале бита T=0.01c по каналу с аддитивным белым шумом со спектральной плотностью N0=210-4 Bт/Гц. Сигналы когерентно демодулируются на приеме.
а) Определить вероятность ошибки бита Р, если А=0,5.
б) Какова минимальная теоретически необходимая полоса канала из условия отсутствия МСИ? А какова более реалистичная оценка минимальной полосы?

П3.13.2. В системе связи используется передача сигналов ФМ-2 вида Аcosω0t на интервале бита Т по каналу со спектральной плотностью белого шума N0. На приеме сигналы когерентно демодулируются с помощью коррелятора или согласованного фильтра. Покажите, что мощность шума на выходе СФ может быть выражена соотношением .

П3.13.3. Система связи ЧМ-2 передает равновероятно сигналы S1(t)=Acos(4050t) и S2=Acos(4850t), которые когерентно демодулируются корреляционным приемником. Скорость передачи Rb=400 бит/с, спектральная плотность шума N0=210-6 Вт/Гц.
а) Показать, что средняя энергия сигнала на интервале одного бита равна
A2T/2 Дж.
б) Определить амплитуду сигнала А при которой будет обеспечена вероятность ошибки бита рb 10-3.
в) Каково минимально необходимое теоретически значение полосы канала для передачи этих сигналов? А какова более реалистичная оценка минимально необходимой полосы?
П3.13.4. а) На вход модулятора ОФМ - 2 поступает последовательность данных dn=1011001011. Определить последовательность фаз модулированного сигнала в предположении, что исходный (стартовый) бит C0 на выходе дифференциального кодера равен 1.
б) Определить двоичную последовательность данных поданную на вход модулятора, если последовательность фаз модулированного сигнала имеет вид 000ππ0π000π0.

П3.13.5. Покажите, что если при приеме сигналов ФМ-2 вида S1(t)=Acosω0t и S2(t)=Acos(ω0t+π)=-Acos/ω0t+π)=-Acosω0t опорный сигнал коррелятора равен 2Acos(ω0t+φ), т. е. из-за неточной синхронизации появляется фазовый сдвиг φ, то вероятность ошибки бита может быть найдена по формуле
P=Q( )

П3.13.6. При приеме сигналов ОФМ - 2 должна быть обеспечена вероятность ошибки бита p 10-6. Какое минимальное отношение (Eb/N0) должно быть обеспечено на входе приемника?

П3.13.7. Опишите, используя схемы, графики и соответствующие формулы основные аспекты систем передачи ФМ - 2:
1)определение и основные параметры;
2) спектр сигнала ФМ - 2 и необходимая полоса канала;
3) схемы модуляторов и демодуляторов;
4) преимущества и недостатки ФМ-2 по сравнению с АМ-2 и ЧM-2.



П3.13.8.Необходимо проанализировать несколько вариантов передачи данных со скоростью 500 бит/с по полосовому каналу с центральной частотой 1500 Гц используя следующие методы:
а) модуляция ЧМ-2; б)модуляция ФМ-2; в) модуляция ОФМ-2.
Для каждого варианта представить:
1) функциональные схемы модуляторов и демодуляторов;
2) оценку необходимой полосы канала, предполагая, что сигнал данных в основной полосе перед подачей его на модулятор фильтруется фильтром с характеристикой типа "приподнятый косинус" с параметром α=0,5.
3) форму модулированного сигнала для последовательности данных 001101.

П3.13.9. Система ОФМ-2 использует канал с полосой частот 3 кГц обеспечивая на входе приемника отношение (Eb/N0)=12дб.
Представить:
а) Схемы модулятора и демодулятора;
б) вероятность ошибки бита;
в) максимальную битовую скорость Rb, предполагая, что сигнал двоичных данных в основной полосе фильтрован НЧ фильтром с характеристикой приподнятого косинуса с параметром α=0.5.

П3.13.10 Опишите основные аспекты систем ОФМ-2.
1) определение и связь с ФМ -2;
2) схемы модуляторов и демодуляторов
3) помехоустойчивость и необходимая полоса канала;
4) максимальная битовая скорость для канала с полосой 10 кГц;
4) вероятность ошибки бита при отношении
(Eb/N0)=12 дб;
6) преимущества и недостатки по сравнению с ФМ-2

П3.13.11. Канал связи имеет полосу 3 кГц. Какова максимальная скорость передачи информации при использовании:
а) ЧМ-2 с когерентной демодуляцией;
б) ЧМ-2 с некогерентной демодуляцией;
в) ФМ-2.

П3.13.12.
а) Покажите, что при любом фазовом сдвиге φ синусоидальные колебания Acos(2πf1t+φ) и Acos(2πf0t) будут ортогональны на интервале бита
0 T если (f1-f0)= Гц.
б) Покажите, что эти колебания при φ=0 являются ортогональными, если =1/2T (Гц).
в) Каково минимальное расстояние между частотами f0 и f1 для сигнала ЧМ-2 при когерентном и некогерентном детектировании. Что такое ЧМ-2 с минимальным сдвигом (МSK)? Что такое GMSK?

П3.13.13. Система передает сигналы ФМ-2 со скоростью 1 Мбод. На входном сопротивлении 50  корреляционного приемника развивается напряжение полезного сигнала с амплитудой 150 мВ.
Определить вероятность ошибки бита, если спектральная плотность шума на входе приемника N0=30 пВт/Гц.

П3.13.14. Опишите основные аспекты функционирования систем передачи АМ-2:
а) определение, описание модулированных сигналов и методов их формирования;
б) необходимая полоса канала;
в) схемы когерентных и некогерентных демодуляторов и их свойства.
г) сравнение систем АМ-2 с системами передачи ФМ-2 и ЧМ-2;

П3.13.15. Система связи использует сигналы ЧМ-2 при передаче данных со скоростью
1 кбод по полосовому каналу с центральной частотой fc=2 кГц. Расстояние между частотами f1 и f2 выбирается из условия f=f2-f1=1/T, где Т-длительность бита.
а) Определить значения частот f1 и f2;
б) Представить функциональные схемы когерентных и некогерентных демодуляторов;
в) Определить вероятность ошибки бита при когерентном и некогерентном приеме, если (Eb/N0)=12дб.

П3.13.16. Система связи использует ортогональные сигналы ЧМ-2. На приеме используется когерентный прием на основе согласованных фильтров (СФ) при амплитуде полезного сигнала A=0.5 B на входном сопротивлении 50 Ом. Скорость передачи
Rs=100 кбод, спектральная плотность шума N0=510-9 Вт/Гц.
а) Определить необходимую полосу канала.
б) Рассчитать вероятность ошибки бита.

П3.13.17. Вероятность ошибки бита на выходе демодулятора ФМ-2 равна p=10-6.
а) Представить схему корреляционного демодулятора и объяснить функционирование каждого его блока с использованием соответствующих математических соотношений.
б) Оценить как изменится вероятность ошибки бита р если местный опорный генератор имеет фазовый сдвиг φ= по сравнению с оптимальным значением φ=0.

П3.13.18. Дать определение каждого из трех видов двоичной модуляции АМ-2, ФМ-2, ЧМ-2. Сравнить их достоинства и недостатки.

П3.13.19. Приемник сигналов ЧМ-2 с частотами f1=5мГц и f2=5.015 МГц имеет на входе мощность полезного сигнала 24 пвт и спектральную плотность шума N0=410-16 Вт/Гц.
а) Какова максимально возможная скорость передачи при вероятности ошибки р=210-4?
б) Какова при этом будет занимаемая полоса частот?

П3.13.20. Когерентный демодулятор АМ-2 восстанавливает опорный сигнал с фазовой ошибкой φ= . Каково будет относительное снижение уровня зондируемого сигнала на выходе демодулятора? Как следует увеличить энергию символа Eb на входе демодулятора чтобы скомпенсировать эффект этого фазового сдвига?

П3.13.21. Модем с модуляцией ОФМ-2 спроектирован для работы в канале с полосой 8 кГц.
а) Какова может быть максимальная битовая скорость при использовании фильтрации типа приподнятый косинус с α=1?
б) Какова вероятность ошибки бита если отношение (Eb/N0)=12 дб?
в) Представьте схемы модулятора и демодулятора ОФМ-2.

П3.13.22. Модем ЧМ-2 исп

500 руб.

. Передача с помощью цифровой бинарной модуляции.
13.1. Общие положения. Типы модуляции, применяемые в передаче данных.
13.2. Методы формирования сигналов двоичной модуляции.
13.3. Оптимальные приемники для сигналов двоичной модуляции
13.3.1. Оптимальные алгоритмы приема
13.3.2. Демодулятор АМ-2.
13.3.3. Демодулятор ФМ-2.
13.3.4. Демодулятор ЧМ-2.
13.3.5. Оптимальные детекторы с согласованными фильтрами.
13.4. Характеристики оптимальных демодуляторов
13.6. Передача данных с дифференциальной двоичной фазовой модуляцией
13.6 Оптимальные приемники сигналов со случайной фазой
13.7. Некогерентные субоптимальные приемники.
13.7.1. Некогерентные приемники сигналов АМ-2
13.7.2. Некогерентный приемник ЧМ-2
13.8. Решенные задачи

следует, что для обеспечения данной вероятности ошибки Pe необходимо обеспечить соотношение сигнал/шум на входе приемника равное
(13.45)
В реальных системах из-за неидеальности синхронизации и межсимвольных искажений отношение h2 нужно, обычно, увеличивать в большей мере.

Литература
1. Ричард Рид Основы теории передачи информации
2. Игнатов В.А.Теория информации и передачи сигналов
3. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов.М.: Радио и связь, 1988.