Готовые ответы на вопросы

1. Элементы теории множеств: множества, подмножества и элементы. Операции над множествами и их свойства. Доказательства основных формул теории множеств: (AB)C= (AC) (BC); (AB) C= A (BC).
2. Отношения на множестве, способы их представления. Операции над бинарными отношениями. Декартово произведение множеств. Отношения эквивалентности. Фактор-множества. Отношения эквивалентности. Теорема Лагранжа.
3. Свойства и типы бинарных отношений: инъекция, сюръекция, отображение. Обратное отображение и биекция. Теорема об обратной функции.
4. Комбинаторные конфигурации: размещение, перестановки, сочетания, подстановки, группы подстановок. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Основное свойство биномиальных коэффициентов.
5. Основные операции над матрицами и их свойства. Определители. Теоремы о разложении определителя по i-ой строке и по j-му столбцу. Свойства определителей.
6. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Теорема о необходимом и достаточном условии равенства нулю определителя.
7. Решение общей линейной системы. Свойства совокупности решений однородной системы.
8. Предел функции непрерывного аргумента. Предел функции в точке. Односторонние пределы в точке. Определение пределов функции на бесконечности. Теорема о необходимом условии существования предела функции. Арифметические свойства пределов (предел суммы, произведения, частного). Переход к пределу в неравенствах. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой.
9. Определение непрерывной функции. Теорема об ограниченности функции, непрерывной на отрезке. Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, наибольшего и наименьшего значений.
10. Применение дифференциального исчисления к исследованию графика функции. Признак постоянства функции. Признаки возрастания и убывания функции. Локальные экстремумы функции. Критические точки первого рода. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Критические точки второго рода. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
11. Определенный интеграл. Определение интеграла по Риману. Ограниченность интегрируемой функции. Необходимые и достаточные условия интегрируемости. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.
12. Числовые ряды. Определение ряда и его сходимость. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами. Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютно сходящиеся ряды. Признак Лейбница.
13. Алгоритмы доказательства тавтологий и равенств логических формул в исчислении высказываний: табличный алгоритм, алгоритм Куайна, алгоритм редукции, алгоритм свертки, метод резолюций. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы логических функций. СДНФ и СКНФ. Понятие полноты системы логических операций. Примеры полных систем.
14. Понятие предиката. Кванторы существования и всеобщности. Язык исчисления предикатов первого порядка и его семантика. Отношение эквивалентности на формулах языка предикатов. Основные равенства с доказательствами.
15. Приведение формул исчисления предикатов к префиксной форме. Сколемизация формул. Доказательства методом резолюций в исчислении предикатов. Теорема Сколема.
16. Примитивно рекурсивные и частично рекурсивные функции. Тезис Черча. Примитивная и частичная рекурсивность некоторых элементарных функций. Нормальные алгоритмы Маркова. Принцип Маркова.
17. Случайные события. Основные понятия алгебры событий. Классическая вероятностная схема. Свойства вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и теорема Байеса.
18. Случайные величины и их виды. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия. Их свойства. Функция распределения как универсальная характеристика случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
19. Основные законы распределения случайных величин: биномиальный, Пуассона, равномерный, нормальный. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа с доказательствами.
20. Основные задачи математической статистики. Вариационные ряды и их характеристики. Средние величины, показатели вариации, эмпирическая функция распределения. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности по выборке. Проверка статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона.