Готовая контрольная работа

Вопрос №4. Понятие о статистической гипотезе. Критерии согласия.

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его А), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр θ равен определенному значению θ= θ0, выдвигают гипотезу: θ= θ0. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра одного известного распределения.

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и многие другие.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Наряду с выдвинутой (нулевой) гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая ей (конкурирующая, альтернативная) гипотеза.

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Эту величину обозначают U или Z, если она распределена нормально, F – по закону Фишера-Снедекора, T – по закону Стьюдента и т.д. В целях общности обозначим эту величину через К.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Наблюдаемым значением Кнабл называют значение критерия, вычисленное по выборкам.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Поскольку критерий К – одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критическими точками (границами) называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Вопрос №1. Основные задачи математической статистики. Статистический ряд, полигон, гистограмма.

Вопрос №2. Задача выравнивания статистического ряда. Методы моментов и максимального правдоподобия для оценки параметров закона распределения.

Вопрос №3. Интервальное оценивание параметров закона распределения.

Вопрос №4. Понятие о статистической гипотезе. Критерии согласия.

Вопрос №5. Понятие о регрессионном анализе

Вопрос №6. Основные понятия дифференциальных уравнений

Вопрос №7. Нахождение решения неполного дифференциального уравнения

Вопрос №8. Нахождение решения уравнения с разделяющимися переменными.

Вопрос №9. Нахождение решения дифференциального уравнения, приводящегося к уравнениям с разделяющимися переменными.

Вопрос №10. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и метод их решения.

Вопрос №11. Понятие о числовом ряде, сходящиеся и расходящиеся числовые ряды.

Вопрос №12. Достаточный признак Даламбера сходимости числового ряда с положительными членами.

Вопрос №13. Знакочередующиеся числовые ряды, признак сходимости Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся знакочередующиеся числовые ряды.

Вопрос №14. Степенные ряды, основные понятия.

Вопрос №15. Радиус и область сходимости степенного ряда.

Вопрос №16. Ряд Маклорена и ряд Тейлора.

Вопрос №18. Содержательные постановки задач математического программирования.

Вопрос №19. Постановка и формализация задач линейного программирования.

Вопрос №20. Геометрический метод решения задач линейного программирования.

Вопрос №21. Основные понятия симплекс-метода решения задачи линейного программирования.

Вопрос №1. Основные задачи математической статистики. Статистический ряд, полигон, гистограмма.

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных – результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:

• Оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

• Проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Рассмотрим основные понятия математической статистики.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось n1 раз, х2 – n2 раз, хk – nk раз и -объем выборки. Наблюдаемые значения хi называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки ni/n=Wi – относительными частотами.

Статистическим рядом (статистическим распределением выборки) называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистический ряд можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Для наглядности строят различные графики статистического ряда, и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2), .., (xk; nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (xi; ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1; W1), (x2; W2), .., (xk; Wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты Wi. Точки (xi; Wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты). Площадь i-го частичного прямоугольника равна ni – сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению Wi/h (плотность относительной частоты). Площадь i-го частичного прямоугольника равна Wi – относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал; следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.