3. Математическая модель
Обозначим суммы, вложенные в акции, как и .
Обозначим суммы, вложенные в облигации, как и .
Обозначим сумму, вложенную в банк, как .
Тогда функция цели (годовой доход), запишется в виде:
Составим систему ограничений.
• все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы
• по крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в банке;
• по крайней мере 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;
• в облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции;
• не более 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее 10%.
Дополнительное условие – неотрицательность сумм:
Таким образом, для решения задачи необходимо определить такие , которые удовлетворяют системе неравенств:
и максимизируют функцию цели:
.
4. Моделирование в среде MathCad
Для решения задачи в среде MathCad необходимо переписать систему неравенств в матричном виде.
Поиск максимума целевой функции осуществляется при помощи функции Maximize в блоке решения Given.
Синтаксис Блока решения:
Given
Ограничительные условия
Maximize(f,x) - возвращает значения ряда переменных для точного решения
x - переменные, которые надо найти.
Последовательность действий при численном решении:
Задаем начальные (стартовые) значения для искомых переменных.
Заключаем уравнения в блок решения, начинающийся ключевым сло-вом Given и заканчивающийся ключевым словом Maximize(f,x).
Если после слова Maximize(f,x) ввести знак равенства [=], MathCAD выдаст численное решение.
1,200 руб.
Введение 3
1. Постановка задачи 5
2. Обзор методов решения задач данного типа 6
2.1. Математическое программирование 6
2.2. Табличный симплекс-метод 7
2.3. Метод искусственного базиса 8
2.4. Модифицированный симплекс-метод 8
3. Математическая модель 10
4. Моделирование в среде MathCad 12
5. Анализ результатов 13
Введение
Проникновение математики в экономическую науку связано с пре-одолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" мате-матика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в при-роде экономических процессов и в специфике экономической науки.
Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.
Наиболее распространено понимание системы как совокупности эле-ментов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целост-ность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджент-ность — наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элемен-тов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно поль-зоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследо-ваний в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.
Сложность системы определяется количеством входящих в нее эле-ментов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями меж-ду системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодейству-ют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъ-ективные факторы.
Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование не-возможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой при-роды и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наи-больший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.
Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических зна-ний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости эко-номических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недоста-точно эффективно.
Цель данной работы — определить оптимальное распределение инве-стиций, свести данную задачу к задаче линейного программирования, решить в среде MathCad.
1. Постановка задачи
Частный инвестор предполагает вложить в ценные бумаги и положить на срочный вклад в банке в общей сложности 500 тыс. руб.
После консультаций со специалистами фондового рынка он выбрал 3 типа акций, 2 типа облигаций, а также банк, в который будет сделан срочный вклад (см. таблицу).
Вложение Доход, % Риск
Акции А 15 высокий
Акции В 12 средний
Акции С 9 низкий
Долгосрочные облигации 11 -
Краткосрочные облигации 8 -
Срочный вклад 6 -
Кроме того, на основе рекомендаций специалистов и своих личных предпочтений инвестор сформулировал следующие требования к инвестици-онному портфелю:
• все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы;
• по крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в банке;
• по крайней мере 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;
• в облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции;
• не более 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее 10%.
Сформировать портфель инвестиций для данного инвестора, удовле-творяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход.
2. Обзор методов решения задач данного типа
2.1. Математическое программирование
Математическое программирование занимается изучение экстремаль-ных задач и поиском методов их решения. Задачи математического програм-мирования формулируются следующим образом : найти экстремум некото-рой функции многих переменных f ( x1, x2, ... , xn ) при ограничениях gi ( x1, x2, ... , xn ) bi , где gi — функция, описывающая ограничения, - один из следующих знаков , , , а bi — действительное число, i = 1, ... , m. f назы-вается функцией цели ( целевая функция ).
Линейное программирование — это раздел математического про-граммирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.
Задачу линейного программирования можно сформулировать так: Найти
при условии:
Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.
В матричной форме задачу линейного программирования записывают следующим образом. Найти max cT x
при условии
A x b ;
x 0 ,
где А — матрица ограничений размером ( mn), b(m1) — вектор-столбец свободных членов, x(n 1) — вектор переменных, сТ = [c1, c2, ... , cn ] — вектор-строка коэффициентов целевой функции.
Решение х0 называется оптимальным, если для него выполняется ус-ловие сТ х0 сТ х , для всех х R(x).
Поскольку min f(x) эквивалентен max [ - f(x) ] , то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимиза-ции.
Для решения задач данного типа применяются методы:
1) графический;
2) табличный (прямой, простой) симплекс-метод;
3) метод искусственного базиса;
4) модифицированный симплекс-метод;
5) двойственный симплекс-метод.
2.2. Табличный симплекс-метод
Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида “ ”, а компоненты вектора b — положительны.
Алгоритм решения сводится к следующему:
Приведение системы ограничений к каноническому виду путём вве-дения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.
Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “=” или “ ”, то в указанные ограничения добавляются искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.
Формируется симплекс-таблица.
Рассчитываются симплекс-разности.
Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.
При необходимости выполняются итерации.
На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.
2.3. Метод искусственного базиса
Данный метод решения применяется при наличии в ограничении зна-ков “=”, “ ”, “ ” и является модификацией табличного метода. Решение сис-темы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зави-сящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных по-следние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффи-циентами , а в задачи минимизации — с положительными . Таким обра-зом, из исходной задачи получается новая задача.
Если в оптимальном решении -задачи нет искусственных перемен-ных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оп-тимальном решении -задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и ис-ходная задача неразрешима.
1,200 руб.
