Готовая курсовая работа

Задача численного интегрирования

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
, (1)
где – заданная функция.
Для решения этой задачи на отрезке вводится сетка , и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
, (2)
где – значение функции в узлах x=xi, сi – весовые множители или веса, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора .
Формула (2) называется квадратурной формулой или квадратурой.
Задача численного интегрирования с помощью квадратур состоит в нахождении таких узлов xi и таких весов ci, для которых погрешность квадратурной формулы

была бы минимальна для функций из заданного класса (так как величина зависит от гладкости ).
Для удобства вычислений и вывода формул интеграл (1) обычно представляют в виде суммы интегралов вида

каждый из которых приводится к стандартному интегралу по отрезку единичной длины
(3)
с помощью замены

так, что

Если принять, что – равномерная сетка, то можно записать

Таким образом задача сводится к построению квадратурной формулы для интеграла (3) по единичному отрезку.

1. Содержание 2
2. Введение 3
Задача численного интегрирования 3
Построение квадратурных формул методом неопределенных коэффициентов 5
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса 6
Формула трапеций 7
Формула Симпсона 7
Правило Рунге практической оценки погрешностей 9
Метод Монте-Карло 11
3. Постановка задачи 14
4. Решение задачи 15
5. Выводы 19
6. Список использованной литературы 20
Приложение 1. Листинг программы 21

На основе методов трапеции, Симпсона, Монте-Карло, я реализовал программу для вычисления приближенных значений интегралов
,
.
Результаты по всем трем методам для каждой задачи сошлись с заданной точностью.

1. “Численные методы”, Бахвалов Н.С., М., Наука, 2001
2. “Введение в численные методы”, Самарский А.А., М., Наука, 1981