ВАРИАНТ 1
Задание 1. Составить математическую модель однопродуктовой фирмы и сформулировать задачу принятия решения. При этом заданы: функция полных затрат фирмы C(Q)=2Q2+8Q+100 и спроса на произведенный фирмой продукт P(Q)=108–8Q.
Построить графики полных затрат, предельных и средних затрат фирмы.
Построить графики дохода, предельного и среднего дохода фирмы.
Определить объем безубыточного производства. Построить графики полных затрат, дохода и прибыли фирмы.
Определить объем оптимального выпуска. Построить графики прибыли, предельных затрат и предельного дохода фирмы.
Решение:
По условию известно, что функция полных затрат фирмы C(Q)=2Q2+8Q+100. Ее график имеет вид (см. рис. 1).
Рис. 1. – функция полных затрат фирмы C(Q)
Найдем вид функции средних затрат фирмы АС(Q)=(2Q2+8Q+100)/Q на единицу продукции и вид функции предельных затрат MC(Q)=(2Q2+8Q+100)’=4Q+8 как приращение общих затрат при увеличении выпуска на единицу. Построим график данных функций (см. рис. 2 и 3).
Рис. 2. – функция средних затрат, AC(Q)
Рис. 3. – функция предельных затрат, MC(Q)
Рис. 4.
Найдем точку пересечения графиков функций AC(Q) и MC(Q), для этого решим уравнение, если
Так же стоит отметить, что графики функций предельных и средних издержек всегда пересекаются в точки минимума последнего, т.е., для нашей задачи, в точке с координатами .
Выручка фирмы от продаж Q единиц продукции называется доходом фирмы R(Q), R(Q)=P(Q)*Q=108Q–8Q2, где P(Q)=108–8Q – зависимость цены Р от объема продукции. Зная, что средний доход АR(Q)= R(Q)/Q=108–8Q и предельный доход МR(Q)=R(Q)’=((108–8Q)*Q)’=(108Q–8Q2)’=108–16Q, можно построить графики указанных функций (см. рис. 5).
Рис. 5. – функции предельного MR(Q), среднего AR(Q) доходов
и дохода R(Q)
График функции R=R(Q) в рассматриваемой задаче представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Корнями функции R=R(Q), при R(Q)=0 являются: Q1=0 и Q2=13,5. Максимум функции достигается при Qв=6,75, причем Rmax=108*6,75–8*(6,75)2 =364,5.
Прибыль I фирмы есть разность между выручкой и полными издержками на производство и реализацию продукции (см. рис. 6):
I(Q)=R(Q)–C(Q)=108Q–8Q2–2Q2–8Q–100=10(10Q–Q2–10).
Фирма стремится получать максимум прибыли. Сформулируем необходимое условие максимума прибыли:
I(Q) =(10(10Q–Q2–10))’=10(10–2Q)=0,
следовательно (10–2Q)=0, Q=5 – оптимальный выпуск продукции, обеспечивающий максимальную прибыль фирмы, равную I(5)=150.
Рис. 6. – функция прибыли фирмы I(Q)
На рисунке 7 представлены графики дохода, прибыли и издержек фирмы.
Рис. 7. – функции прибыли и I(Q), дохода R(Q) и
издержек C(Q) фирмы
Точка пересечения графиков функций C(Q) и R(Q) является точкой безубыточности фирмы. Как видно из рис. 7, таких точек две. Это означает, что в экономической модели безубыточности существует два уровня выпуска и реализации продукции, при которых общие затраты равны выручке от реализации, т.е. две точки безубыточности. Найдем эти точки решив уравнение 108Q–8Q2=2Q2+8Q+100, Q2–10Q+10=0, следовательно . На поведение совокупных затрат в этой модели наиболее сильное влияние оказывают переменные издержки, изменяющиеся в соответствии с известным эффектом масштаба.
Построим графики прибыли, предельных затрат и предельного дохода фирмы (см. рис. 8).
Рис. 8. – функции прибыли I(Q), предельных затрат MC(Q)
и дохода MR(Q)
Точка пересечения графиков MR(Q) и MC(Q) определяют оптимальный план выпуска продукции фирмы, .
1,200 руб.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1.Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. – М.: Нау-ка, 1979.
2.Колемаев В.А., Малыхин В.М., Калинина В.Н, Математическая экономика в примерах и задачах: Учебно–практическое пособие. – М.:ГАУ, 1995.
3.Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических про-цессов. М.: Изограф, 1997. 224 с.
4.Лебедев В.В., Математические задачи экономики: Учебное пособие. – М.:ГАУ, 1995.
Вспомогательная
5. Атурин В.В., Годин В.В. Сборник задач по высшей и прикладной математике (Экономика глазами математика): Учебное пособие / ГАУ. М.:1995. 79 с.
6. Гребенников П.И. Микроэкономика в цифрах. СПб., 1999. 112 с.
7. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд.»ДИС», 1997. 368 с.
8. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике: М.: Вита-Пресс, 1996. 368 с.
9. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие. М.: Изд-во УРАО, 1998. 160 с.
10. Методические материалы по экономическим дисциплинам для преподавате-лей средних школ и вузов: Программы, тесты, задачи, решения / Под общ. ред. Л.С. Гребнева. М.: ГУ-ВШЭ, 2000. 376 с.
11. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Теория спроса, предложения и рыночных структур. М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 1999. 421 с.
12. Экономическая теория. Задачи, логические схемы, методические материалы / Под ред. А.И. Добрынина, Л.С. Тарасевича: Учебник для вузов. СПб: Изд. «Питер», 1999. 448 с.
1,200 руб.
