ВАРИАНТ 2
Задание 2. Составить математическую модель однопродуктовой фирмы с учетом отчисляемого фирмой налога, если налог взимается в размере t у. ед. с единицы реализованной продукции.
Определить объем оптимального выпуска в зависимости от размера налоговой ставки. Построить график этой зависимости. Функция полных затрат фирмы C(Q)=Q2+2Q+16 и функция спроса P(Q)=(300–3Q) на произведенный фирмой продукт Q взяты из приложения 2.
Получить зависимость максимальной прибыли от размера налоговой ставки t. Построить график этой зависимости. Определить точку замирания деловой активности фирмы.
Составить математическую модель получения государством дохода от взимания налога с рассматриваемой фирмы. Определить размер оптимальной налоговой ставки. Сравнить ее с точкой замирания деловой активности. Построить кривую Лэффера.
Решение:
Прибыль фирмы определяется как разность между доходом и полными издержками: I(Q)=R(Q)C(Q)=P(Q)QC(Q)=(300–3Q)Q–(Q2+2Q+16). Если учитывать, что фирма отчисляет налог в размере t у. ед. с единицы реализованной продукции, то получим следующую математическую модель:
I(Q)–tQ=(300–3Q)Q – (Q2+2Q+16)– tQ = –4Q2+298Q–16– tQ.
Отсюда, t(Q)= I(Q)/Q = –4Q+298–16/Q – зависимость размера ставки t от количества выпускаемой продукции фирмы или обратное соотношение – зависимость количества выпускаемой продукции фирмы от величины налоговой ставки (см. рис. 1). Точка замирания деловой активности является точкой, при которой величина выпускаемой продукции становится минимальной, а значит и прибыли, т. е. данной величиной является t=282. Эта очка находится из решения неравенства .
Рис. 1.
Из необходимого условия экстремума I'(Q)=0 находим оптимальное значение выпуска продукции, а значит и налоговой ставки. Так как функция прибыли определяется соотношением I’(Q)–t = –8Q+298–t=0, то графиком функции прибыли является парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение прибыли достигается при Q=Qв =37,25 и равно I(37,25) = 29837,25 – 4(37,25)2 –16 = –5566,25+11100,5=5534,25 у. ед.
Значит, оптимальным значением налоговой ставки будет величина приблизительно равная 148,57, так как 148,57*37,25 5534,25.
Очевидно, что оптимальное значение налоговой ставки 148,5 будет значительно отличаться от точки замирания деловой активности фирмы 282.
Рис. 2.
Разность означает насколько оптимальное значение налоговой ставки от точки замирания.
Теперь построим кривую Лэффера – как графическое представление статистически наблюдаемой зависимости между ставкой подоходного налога и величиной налоговых поступлений (см. рис. 2).
Задание 4. Построить изокванты производственной функции Q=F(K,L)=15K L1/2. Вычислить предельную производительность каждого из ресурсов. Производственная функция и значение выпуска F(K,L)=Q0, где Q0=720 взяты из приложения 4.
Составить математическую модель фирмы, использующей два вида ресурсов для выпуска одного вида продукции в количестве F(K,L)=Q0, причем PK= 20, PL= 60 – цены на ресурсы K и L, соответственно.
Определить минимальный объем затрат необходимых для этого выпуска. Вычислить используемые для этого объемы ресурсов.
Решение:
Производственной функцией Q=Q(K,L) называется зависимость выпуска продукции Q от производственных факторов: капитала K (capital) и труда L (labоuг).
Выведем уравнение изокванты для производственной функции Q=F(K,L)=15K L1/2 и вычислим предельную производительность каждого из ресурсов K и L.
– изокванта при константа.
Предельные производительности ресурсов K и L имеет вид: , соответственно. На рисунке 9, показаны изокванты (гиперболы сверху вниз) при .
Составить математическую модель фирмы, использующей два вида ресурсов для выпуска одного вида продукции в количестве F(K, L)=Q0, причем PK= 20, PL= 60 – цены на ресурсы K и L, соответственно.
Пусть уравнение – это уравнение издержек, тогда геометрический смысл решения задачи: в точке решения изокванта касается изокосты, то есть вектор коллинеарен вектору , и точка принадлежит заданной изокосте (изокванте).
Это позволяет составить систему уравнений для решения задачи:
Таким образом, при выпуске продукции необходимо закупить оптимальные объемы ресурсов: . На рисунке 4 представлена функция издержек C(K,L)=20*K+60*L=C0, где C0=20*24+60*4=720 у. ед. – постоянные издержки фирмы при выпуске продукции при ценах на ресурсы K и L, т. е. PK= 20 и PL= 60, соответственно.
Рис. 4. – решение задачи функция Q=Q(K,L) касается линии цен C(K,L)
Задание 5. Составить математическую модель двухпродуктовой фирмы и сформулировать задачу принятия решения. Исходные данные (функция полных затрат фирмы C(Q1,Q2)=4Q1+4Q2+10 и функции спроса на произведенные фирмой продукты P1(Q1)=24–Q1 и P2(Q2)=20–Q2, взятые из приложения 5. Определить оптимальный объем выпуска, то есть объемы продукции, при которых достигается максимальная прибыль. Для полученных объемов вычислить издержки фирмы.
На плоскости Q1OQ2 построить линию постоянных издержек C(Q1,Q2)=74 множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме C=74 (C(Q1,Q2) 74).
Определить возможность выпуска оптимального объема продукции при заданном ограничении на издержки C=74.
Определить, при каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли, если полные издержки не превосходят C=74.
Решение:
Пусть двухпродуктовая фирма производит Q1 единиц товара А и Q2 единиц товара В. Пусть С(Q1, Q2)=4Q1+4Q2+10 – совокупные издержки на производство этих товаров. Фирма реализует товар А по цене Р1=24–Q1, а товар В – по цене Р2=20–Q2, получая от продаж доход R(Q1,Q2)=(24–Q1)Q1+(20–Q2)Q2. Если фирма максимизирует свою прибыль, равную I(Q1,Q2)= R(Q1,Q2)–C(Q1,Q2)=(24–Q1)Q1+(20–Q2)Q2–(4Q1+4Q2+10)=24Q1–Q12+ +20Q2–Q22–4Q1–4Q2–10=20Q1–Q12+16Q2–Q22–10 оптимальный выпуск товаров (Q1опт.;Q2опт.) определяется системой уравнений:
Для максимизации прибыли должно выполняться в точке оптимального выпуска (Q1опт.;Q2опт.)=(10; 8) достаточное условие экстремума функции прибыли I(Q1,Q2):
– выполняется.
Таким образом, максимальная прибыль I(Q1опт.;Q2опт.)=I(10; 8)=154 у. ед., количество издержек С(10; 8)=4*10+4*8+10=82 у. ед.
Множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме С(Q1,Q2)=2Q1+2Q2+4=74, определяется системой неравенств: 4Q1+4Q2+1074, Q1+Q2 16, Q1 0, Q2 0 (см. рис. 5).
Множество производственных возможностей представляет собой внутреннюю часть треугольника с катетами равными 16, лежащими на осях Q1 и Q2 и гипотенузой в виде прямой линии издержек.
Рис. 5. – функция линии постоянных издержек, функция прибыли и множество производственных возможностей фирмы
Пусть фирма максимизирует свою прибыль при ограниченных издержках 4Q1+4Q2+10 74. Поэтому решаем задачу на нахождение условного экстремума. Для этого составим функцию Лагранжа:
(Q1,Q2)= 20Q1–Q12+16Q2–Q22–10–(4Q1+4Q2+1074),
где множитель Лагранжа, и найдем ее критические точки
Откуда следует: Q1=9, Q2=7. При этом оптимальное значение прибыли равно I(Q1опт.;Q2опт.)=I(9; 7)=152 у. ед., издержки производства составляют С(9; 7)=49+47+10=74 у. ед., а доход от продаж R(9; 7)=(24–9)*9+(20–7)*7= =135+91=226 у. ед.
Графическая интерпретация полученного результата: так как линии уровня функции прибыли представляют собой концентрические окружности с центром в точке M(10; 8), то решение задачи достигается на линии С(Q1,Q2)=4Q1+4Q2+10=74 в точке N (см. рис. 5).
1,200 руб.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1.Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. – М.: Нау-ка, 1979.
2.Колемаев В.А., Малыхин В.М., Калинина В.Н, Математическая экономика в примерах и задачах: Учебно–практическое пособие. – М.:ГАУ, 1995.
3.Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических про-цессов. М.: Изограф, 1997. 224 с.
4.Лебедев В.В., Математические задачи экономики: Учебное пособие. – М.:ГАУ, 1995.
Вспомогательная
5. Атурин В.В., Годин В.В. Сборник задач по высшей и прикладной математике (Экономика глазами математика): Учебное пособие / ГАУ. М.:1995. 79 с.
6. Гребенников П.И. Микроэкономика в цифрах. СПб., 1999. 112 с.
7. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд.»ДИС», 1997. 368 с.
8. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике: М.: Вита-Пресс, 1996. 368 с.
9. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие. М.: Изд-во УРАО, 1998. 160 с.
10. Методические материалы по экономическим дисциплинам для преподавате-лей средних школ и вузов: Программы, тесты, задачи, решения / Под общ. ред. Л.С. Гребнева. М.: ГУ-ВШЭ, 2000. 376 с.
11. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Теория спроса, предложения и рыночных структур. М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 1999. 421 с.
12. Экономическая теория. Задачи, логические схемы, методические материалы / Под ред. А.И. Добрынина, Л.С. Тарасевича: Учебник для вузов. СПб: Изд. «Питер», 1999. 448 с.
1,200 руб.
